[tex]\huge\begin{array}{ccc}1.&f(x)=3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{75}{4}\\2.& p=-\dfraC{3}{2},\ q=-\dfrac{75}{4}\\3.&OX:(-4,\ 0),\ (1,\ 0)&OY:(0,-12)\\4.&f(-5)=18\\5.&y=-\dfrac{3}{2}\end{array}[/tex]
Funkcja kwadratowa.
Postać ogólna:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Postać iloczynowa:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
[tex]x_1,\ x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka
[tex]p=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{x_1+x_2}{2},\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
Daną mamy funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=3(x-1)(x+4)[/tex]
2. Wyznacz p i q.
Odczytujemy z niej miejsca zerowe:
[tex]x_1=1,\ x_2=-4[/tex]
oraz współczynnik [tex]a=3[/tex].
Obliczamy wartość [tex]p[/tex]:
[tex]p=\dfrac{1+(-4)}{2}=-\dfrac{3}{2}[/tex]
Obliczamy wartość [tex]q[/tex]:
[tex]q=f(p)\to q=f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=3\left(-\dfrac{3}{2}-1\right)\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)=3\left(-\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{2}\right)\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{2}\right)\\\\=3\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)\cdot\dfrac{5}{2}=-\dfrac{75}{4}[/tex]
Otrzymujemy odpowiedź na 2.
[tex]\boxed{2.\ p=-\dfrac{3}{2},\ q=-\dfrac{75}{4}}[/tex]
1. Przekształć na postać kanoniczną.
Podstawiamy pod postać kanoniczną:
[tex]f(x)=3\left[x-\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right]^2+\left(-\dfrac{75}{4}\right)\\\\\boxed{1.\ f(x)=3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{75}{4}}[/tex]
3. Współrzędne przecięcia się paraboli z osiami x i y.
Miejsca zerowe, które odczytaliśmy wcześniej są odciętymi punktów przecięcia z osią OX.
[tex]\boxed{OX:\ (1,\ 0),\ (-4,\ 0)}[/tex]
Punkt przecięcia z osią OY:
[tex]f(0)=3(0-1)(0+4)=3\cdot(-1)\cdot4=-12[/tex]
[tex]\boxed{OY:\ (0,-12)}[/tex]
4. Wyznacz wartość funkcji dla argumentu -5.
Podstawiamy [tex]x=-5[/tex]:
[tex]f(-5)=3\cdot(-5-1)(-5+4)=3\cdot(-6)\cdot(-1)=18[/tex]
[tex]\boxed{f(-5)=18}[/tex]
5. Wykonaj wykres funkcji i wyznacz równanie osi symetrii.
Równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli:
[tex]y=p[/tex]
Czyli w naszym przypadku mamy:
[tex]\boxed{y=-\dfrac{3}{2}}[/tex]
Do wykresu funkcji mamy już dane punkty:
[tex]W\left(-\dfrac{3}{2},-\dfrac{75}{4}\right)\\\\(1,\ 0),\ (-4,\ 0)\\\\(0,-12)\\\\(-5,\ 18)[/tex]
Jeżeli w 1. mieliśmy przekształcić na postać kanoniczną z postaci iloczynowej nie obliczając [tex]p[/tex]i [tex]q[/tex], to:
[tex]f(x)=3(x^2+4x-x-4)=3(x^2+3x-4)[/tex]
Mamy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex]3(x^2+3x-4)=3\left(x^2+2x\cdot\dfrac{3}{2}-4\right)=3\left[x^2+2x\cdot\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-4\right]\\\\=3\left[\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}-\dfrac{16}{4}\right]=3\left[\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right]=3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{75}{4}[/tex]
Czyli ostatecznie:
[tex]\boxed{f(x)=3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{75}{4}}[/tex]
Ze wzoru odczytujemy wartości [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex]:
[tex]\boxed{p=-\dfrac{3}{2},\ q=-\dfrac{75}{4}}[/tex]
