[tex]Obj = \frac{1}{3} * 2\sqrt{7} *16 = \frac{32\sqrt{7} }{3} [j^3][/tex]
Na początku opowiedzmy sobie czym jest ostrosłup prawidłowy. Jest to taki ostrosłup, który ma w postawie figurę, która ma wszystkie równe boki i równe kąty. Więc skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokąty mamy więc do czynienia z ostrosłupem którego podstawą jest kwadrat.
Objętość ostrosłupa to 1/3 razy wysokość razy pole podstawy:
[tex]Obj = \frac{1}{3}*H*Pp[/tex]
Skoro wiemy, że podstawą jest kwadrat o boku 4 to łatwo obliczyć że pole takiego kwadratu to:
[tex]Pp=a^2=4^2=16[/tex]
Brakuje nam zatem tylko wysokości. Jeżeli narysujemy sobie ten ostrosłup (rysunek w załączniku) można zobaczyć że wysokość spada idealnie na środek podstawy. Mamy więc od środka do dowolnego wierzchołka odległość pół przekątnej. Przypomnijmy że przekątna kwadratu to długość jego boku razy pierwiastek z 2. Więc jeśli podzielimy to na pół otrzymamy:
[tex]\frac{a\sqrt{2} }{2} = \frac{4\sqrt{2} }{2} =2\sqrt{2}[/tex]
Z rysunku naszego ostrosłupa widać, że połowa przekątnej, krawędź boczna, oraz wysokość tworzą trójkąt prostokątny, zatem korzystając z twierdzenia pitagorasa można w łatwy sposób obliczyć wysokość:
[tex](2\sqrt{2} )^2+H^2=6^2\\H^2=36-4*2\\H^2=36-8\\H^2=28\\H=\sqrt{28} =2\sqrt{7}[/tex]
Możemy zatem podłożyć do wzoru na objętość:
[tex]Obj = \frac{1}{3} * 2\sqrt{7} *16 = \frac{32\sqrt{7} }{3}[/tex]
