Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{f'(x)=\dfrac{3x^5-x^2}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(15x^4-2x\right)}[/tex]
[tex]\huge\boxed{f'(x)=\dfrac{x^4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(4x^3+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Skorzystamy z:
[tex]\bigg(f(x)\cdot g(x)\bigg)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\\\bigg(nx\bigg)'=n\\\\\bigg(x^n\bigg)'=nx^{n-1}\\\\\bigg(\sqrt{x}\bigg)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\\\\bigg(f(x)+g(x)\bigg)'=f'(x)+g'(x)[/tex]
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[tex]f(x)=\sqrt{x}\left(3x^5-x^2\right)\qquad D:x\geq0\\\\f'(x)=\bigg(\sqrt{x}\bigg)'\left(3x^5-x^2\right)+\sqrt{x}\bigg(3x^5-x^2\bigg)'\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\left(3x^5-x^2\right)+\sqrt{x}\cdot\left(5\cdot3x^4-2x\right)\\\\=\dfrac{3x^5-x^2}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(15x^4-2x\right)\qquad D':x > 0[/tex]
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[tex]f(x)=\sqrt{x}\left(x^4+4\sqrt{x}\right)\qquad D:x\geq0\\\\f'(x)=\bigg(\sqrt{x}\bigg)'\left(x^4+4\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\bigg(x^4+4\sqrt{x}\bigg)'\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left(x^4+4\sqrt{x}\right)+\sqrt{x}\left(4x^3+4\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\\\=\dfrac{x^4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(4x^3+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\qquad D':x > 0[/tex]
