Rozwiązanie:
Skorzystamy ze wzoru:
[tex]$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan\beta }{1-\tan\alpha \cdot \tan \beta }[/tex]
Mamy:
[tex]$\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
Niech [tex]\alpha =10^{\circ}[/tex]. Wtedy:
[tex]$\tan 3\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$\tan3\alpha =\tan(\alpha +2\alpha )=\frac{\tan \alpha +\tan 2\alpha }{1-\tan \alpha \cdot \tan2\alpha }[/tex]
[tex]$\tan 2\alpha =\tan(\alpha +\alpha )=\frac{2\tan\alpha }{1-\tan^{2}\alpha }[/tex]
Zatem:
[tex]$\tan3\alpha =\frac{\tan\alpha +\frac{2\tan \alpha }{1-\tan^{2}\alpha } }{1-\tan \alpha \cdot \frac{2\tan \alpha }{1-\tan^{2}\alpha }} =\frac{3\tan \alpha -\tan^{3}\alpha }{1-3\tan^{2}\alpha }[/tex]
Niech [tex]x = \tan \alpha[/tex]. Zatem mamy do rozwiązania równania:
[tex]$\frac{3x-x^{3}}{1-3x^{2}} =\frac{\sqrt{3} }{3}[/tex]
[tex]3(3x-x^{3})=\sqrt{3}(1-3x^{2})[/tex]
[tex]-3x^{3}+9x=\sqrt{3}-3\sqrt{3}x^{2}[/tex]
[tex]3x^{3}-3\sqrt{3}x^{2}-9x+\sqrt{3}=0[/tex]
Nie zanudzając wzorami Cardano dla równań trzeciego stopnia otrzymamy (po wybraniu odpowiedniego rozwiązania):
[tex]$\tan 10^{\circ}=\frac{-12+\sqrt[3]{864i\sqrt{3}-864}-2\sqrt{3}\sqrt[3]{12\sqrt{3}+36i}-12i\sqrt{3}+i\sqrt{3}\sqrt[3]{864i\sqrt{3}-864} }{6\sqrt[3]{12\sqrt{3}+36i}}[/tex]
Po przybliżeniu wartości dokładnej:
[tex]\tan10^{\circ} \approx 0,1763[/tex]
