Witaj :)
W załączniku rysunek tego trójkąta w układzie współrzędnych.
Aby sprawdzić, czy trójkąt o danych wierzchołkach jest prostokątny należy obliczyć długości jego boków (długości odcinków) i korzystając z twierdzenia Pitagorasa sprawdzić, czy ten trójkąt je spełnia.
Wzór na długość odcinka o współrzędnych w punkcie A, oraz B jest wyrażony wzorem:
[tex]Jezeli:\ A(x_A,y_A)\ \ \wedge \ \ B(x_B,y_B),\ to:\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2[/tex]
Aby obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A,B,C, to korzystamy ze wzoru:
[tex]Jezeli:\ A(x_A,y_A)\ \ \wedge \ \ B(x_B,y_B)\ \ \wedge\ \ \ C(x_C,y_C), \ to:\\\\P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|[/tex]
Część I - sprawdzenie, czy trójkąt ABC jest prostokątny
Dane mamy wierzchołki trójkąta ABC, o następujących współrzędnych:
[tex]A(-2,-3), \ gdzie:\ x_A=-2, \ y_A=-3\\B(4,-3), \ gdzie:\ x_B=4, \ y_B=-3\\C(2,1), \ gdzie:\ x_C=2, \ y_C=1[/tex]
W pierwszej kolejności musimy obliczyć długości boków tego trójkąta, czyli długości następujących odcinków: |AB|, |AC|, |BC|. Obliczmy je zatem:
- Obliczam długość odcinka |AB|
[tex]|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-3-(-3))^2}=\sqrt{6^2+0^2}=\sqrt{36}=6[/tex]
- Obliczam długość odcinka |AC|
[tex]|AC|=\sqrt{(2-(-2))^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}[/tex]
- Obliczam długość odcinka |BC|
[tex]|BC|=\sqrt{(2-4)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex]
Mamy już obliczone długości wszystkich boków. Musimy teraz ustalić, które z nich będą przyprostokątnymi a który będzie przeciwprostokątną. Obliczmy wartości przybliżone boków, w których mamy pierwiastki:
[tex]|AB|=6\\|AC|=4\sqrt{2}\approx 5,66\\|BC|=2\sqrt{5}\approx 4,47[/tex]
Przeciwprostokątna to bok o najdłuższej długości, więc jest to odcinek |AB|. Sprawdzamy, czy trójkąt ABC jest prostokątny korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
[tex](|AC|)^2+(|BC|)^2=(|AB|)^2\\\\(4\sqrt{2})^2+(2\sqrt{5})^2=6^2\\\\32+20=36\\\\52\neq 36[/tex]
Ponieważ otrzymaliśmy sprzeczność, trójkąt ABC nie jest prostokątny.
Część II - obliczenie pola trójkąta ABC
Przepiszmy jeszcze raz współrzędne wierzchołków tego trójkąta:
[tex]A(-2,-3), \ gdzie:\ x_A=-2, \ y_A=-3\\B(4,-3), \ gdzie:\ x_B=4, \ y_B=-3\\C(2,1), \ gdzie:\ x_C=2, \ y_C=1[/tex]
Podstawmy je pod wzór na pole:
[tex]P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|( 4-(-2))(1-(-3))-(-3-(-3))(2-(-2))|\\\\P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|6\cdot 4-0\cdot 4|=\frac{1}{2}|24-0|=\frac{1}{2}|24|=\frac{1}{2}\cdot 24=12\ [j^2][/tex]
Więc pole tego trójkąta to 12[j²]
Odpowiedź końcowa: Trójkąt ABC nie jest prostokątny. Pole tego trójkąta wynosi 12[j²].
