👤
Rozwiązane

Okrąg o środku w punkcie S(3, 2) ma z prostą x−y−3 = 0 punkty wspólne A i B.
Wiadomo, że |AB| = 6√2. Wyznacz równanie tego okręgu.

Odpowiedź :

Sappho24680go

Zadanie dotyczy geometrii analitycznej (wyznaczania równania okręgu).

  1. Zaczynamy od pomocniczego rysunku (poniżej).
  2. Wyznaczamy odległość środka okręgu od prostej:
    [tex]d= \frac{|3-2-3|}{\sqrt{1+1}} = \sqrt 2[/tex]
  3. Mamy dwa trójkąty utworzone z odcinka [tex]d[/tex], połowy odcinka [tex]|AB|[/tex] oraz promienia okręgu [tex]R[/tex]. Z twierdzenia Pitagorasa:
    [tex]d^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = R^2\\2+9*2 = R^2\\R=2\sqrt5[/tex]
  4. Finalnie równanie okręgu:
    [tex](x-3)^2 + (y-2)^2 = (2\sqrt5)^2\\(x-3)^2 + (y-2)^2 = 20[/tex]

Warto zapamiętać, że:

  • Odległość punktu [tex](x_0,y_0)[/tex] od prostej [tex]Ax+By+C =0[/tex]
    liczymy ze wzoru:
    [tex]d= \frac{|Ax_0+B_0+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
  • Równanie okręgu o środku w [tex](x_0,y_0)[/tex] i promieniu [tex]R[/tex] jest postaci:
    [tex](x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = R^2[/tex]
Zobacz obrazek Sappho24680

Go Studier: Inne Pytanie