Odpowiedź :
Pola powierzchni całkowitej i objętości graniastosłupów widocznych na rysunkach wynoszą odpowiednio:
a) [tex]P_c=2(15+\sqrt{3})\,cm^2,V=5\sqrt{3} \,cm^3[/tex]
b) [tex]P_c=276\,cm^2, V=280\,cm^3[/tex]
c) [tex]P_c=172\,cm^2,V=112\,cm^3[/tex]
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa musimy wyznaczyć pola wszystkich ścian bocznych i obydwu podstaw.
Objętość graniastosłupa obliczamy zaś mnożąc pole podstawy razy jego wysokość.
a) przedstawiony graniastosłup ma w podstawie trójkąt równoboczny
- Pole trójkąta równobocznego wyznaczamy stosując wzór:
[tex]P=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
- Podstawmy długość boku trójkąta i obliczmy pole:
[tex]P=\frac{(2\,cm)^2\cdot \sqrt{3} }{4} =\frac{4\,cm^{2}\sqrt{3} }{4} =1\sqrt{3} \,cm^2[/tex]
- Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach [tex]2\,cm\times 5\,cm[/tex], pole prostokąta wyznaczmy ze wzoru:
[tex]P=a\cdot b[/tex]
[tex]P=2\,cm\cdot5\,cm=10\,cm^2[/tex]
- Pole powierzchni całkowitej składa się z pól trzech ścian bocznych oraz pól dwóch podstaw:
[tex]P_c=3\cdot P_{sb}+2\cdot P_p=3\cdot 10\,cm^2+2\cdot\sqrt{3} \,cm^2=30\,cm^2+2\sqrt{3} \,cm^2=2(15+\sqrt{3} )\,cm^2[/tex]
- Objętość obliczymy mnożąc pole podstawy razy wysokość ostrosłupa, która wynosi [tex]5\,cm[/tex]:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
[tex]V=\sqrt{3} \,cm^2\cdot5\,cm=5\sqrt{3} \,cm^3[/tex]
b) graniastosłup ma w podstawie pięciokąt
- Podstawę graniastosłupa podzielmy na dwie figury: trójkąt o wysokości [tex]3\,cm[/tex] i podstawie [tex]8\,cm[/tex] oraz prostokąt o wymiarach [tex]8\,cm\times 2\,cm[/tex].
- Pole trójkąta wyznaczamy ze wzoru:
[tex]P=\frac{1}{2} \cdot a\cdot h[/tex]
[tex]P=\frac{1}{2}\cdot 8\,cm \cdot 3\,cm=12\,cm^2[/tex]
Pole prostokąta wynosi:
[tex]P=2\,cm\cdot 8\,cm=16\,cm^2[/tex]
Łącznie pole podstawy wynosi:
[tex]P=12\,cm^2+16\,cm^2=28\,cm^2[/tex]
- Ściany boczne mają 3 różne wymiary. Dwa z nich są znane, musimy wyznaczyć długości dwóch boków pięciokąta. Trójkąt, którego pole obliczaliśmy chwilę temu jest trójkątem równoramiennym. Długość ramienia możemy obliczyć stosując twierdzenie Pitagorasa, które mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej. Jeżeli przeciwprostokątna jest szukanym bokiem pięciokąta, a przyprostokątne wynoszą odpowiednio połowę długości podstawy trójkąta równoramiennego (czyli [tex]8\,cm:2=4\,cm[/tex]) oraz wysokość trójkąta ([tex]3\,cm[/tex]) to wyznaczmy długość boku pięciokąta:
[tex]c^2=(4\,cm)^2+(3\,cm)^2[/tex]
[tex]c=\sqrt{16\,cm^2+9\,cm^2}=\sqrt{25\,cm^2}=5\,cm[/tex]
- Ściany boczne mają więc wymiary:
[tex]8\,cm\times 10\,cm\\10\,cm\times 2\,cm\\10\,cm\times 2\,cm\\10\,cm\times 5\,cm\\10\,cm\times 5\,cm\\[/tex]
- Obliczmy pola tych ścian:
[tex]P_1=8\,cm\cdot10\,cm=80\,cm^2\\P_2=10\,cm\cdot 2\,cm=20\,cm^2\\P_3=10\,cm\cdot 5\,cm=50\,cm^2[/tex]
- Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa składa się więc z pól dwóch podstaw i pięciu ścian bocznych:
[tex]P_c=2\cdot P_p+P_1+2\cdot P_2+2\cdot P_3=2\cdot 28\,cm^2+80\,cm^2+2\cdot 20\,cm^2+2\cdot 50\,cm^2=56\,cm^2+220\,cm^2=276\,cm^2[/tex]
- Objętość graniastosłupa wynosi:
[tex]V=28\,cm^2\cdot10\,cm=280\,cm^3[/tex]
c) graniastosłup ma w podstawie sześciokąt
- Podstawę podzielmy na dwa prostokąty: jeden o wymiarach [tex]2\,cm\times4\,cm[/tex], drugi o wymiarach [tex]4\,cm\times 2\,cm[/tex].
- Obliczmy pola tych prostokątów (są takie same) i ich sumę:
[tex]P=2\,cm\cdot 4\,cm=8\,cm^2\\P=2\cdot8\,cm^2=16\,cm^2[/tex]
- Teraz wyznaczmy wymiary ścian bocznych:
[tex]2\,cm\times7\,cm\\4\,cm\times7\,cm\\6\,cm\times7\,cm\\7\,cm\times2\,cm\\4\,cm\times7\,cm\\7\,cm\times2\,cm\\[/tex]
- Obliczmy pola tych ścian:
[tex]P_1=2\,cm\cdot7\,cm=14\,cm^2\\P_2=4\,cm\cdot7\,cm=28\,cm^2\\P_3=6\,cm\cdot7\,cm=42\,cm^2[/tex]
- Teraz obliczmy pole całkowite graniastosłupa:
[tex]P_c=2\cdot P_p+3\cdot P_1+2\cdot P_2+P_3=2\cdot16\,cm^2+3\cdot 14\,cm^2+2\cdot28\,cm^2+42\,cm^2=32\,cm^2+42\,cm^2+56\,cm^2+42\,cm^2=172\,cm^2[/tex]
- Objętość graniastosłupa wynosi:
[tex]V=16\,cm^2\cdot7\,cm=112\,cm^3[/tex]