Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a=\sqrt{15}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
AB - średnica okręgu.
Obliczymy długość promienia tego okręgu, która stanowi połowę średnicy.
Wzór na długość odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}}[/tex]
[tex]A(-2,\ -1),\ B(0,\ 3)\\\\|AB|=\sqrt{(0-(-2))^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}\\\\|AB|=2\sqrt5\to r=\dfrac{2\sqrt5}{2}=\sqrt5[/tex]
Wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wyraża się wzorem:
[tex]R=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość boku trójkąta równobocznego
Podstawiamy długość promienia okręgu:
[tex]\dfrac{a\sqrt3}{3}=\sqrt5\qquad|\cdot\sqrt3\\\\\dfrac{a\cdot3}{3}=\sqrt{5\cdot3}\\\\a=\sqrt{15}[/tex]
