Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{L=0,2\sqrt{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{3\sqrt3}}{5}=\dfrac{\sqrt[4]{27}}{5}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór na pole trójkąta równobocznego:
[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
[tex]a[/tex] - długość boku trójkąta
Podstawiamy [tex]P=0,01[/tex] i obliczamy wartość [tex]a[/tex]:
[tex]\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=0,01\qquad|\cdot4\\\\4\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4\!\!\!\!\diagup}=0,04\\\\a^2\sqrt3=0,04\qquad|\cdot\sqrt3\\\\3a^2=0,04\sqrt3\qquad|:3\\\\a^2=\dfrac{0,04\sqrt3}{3}\to a=\sqrt{\dfrac{0,04\sqrt3}{3}}\\\\a=\dfrac{\sqrt{0,04\sqrt3}}{\sqrt3}\\\\a=\dfrac{\sqrt{0,04}\cdot\sqrt{\sqrt3}}{\sqrt3}\\\\a=\dfrac{0,2\sqrt{\sqrt3}}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\a=\dfrac{0,2\sqrt{3\sqrt3}}{3}}[/tex]
skorzystałem z twierdzeń:
[tex]\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\ a,b\geq0\\\\\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a,\ a\geq0[/tex]
Obwód:
[tex]L=3a\to L=3\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{0,2\sqrt{3\sqrt3}}{3\!\!\!\!\diagup}=0,2\sqrt{3\sqrt3}[/tex]
Jeżeli mamy większą wiedzę o pierwiastkach to liczbę tą możemy przestawić w prostszy sposób:
[tex]L=0,2\sqrt{3\sqrt3}=\dfrac{2}{10}\sqrt{\sqrt{3^2\cdot3}}=\dfrac{1}{5}\sqrt{\sqrt{27}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{27}}}{5}=\dfrac{\sqrt[4]{27}}{5}[/tex]
[tex]\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a}[/tex] ponieważ
[tex]\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}[/tex] w szczególności [tex]\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}[/tex]
stąd
[tex]\sqrt{\sqrt{a}}=\left(a^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}[/tex]
Korzystając z twierdzenia
[tex]\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}[/tex]
mamy
[tex]\sqrt{\sqrt{a}}=\left(a^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{2}=a^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=a^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{a}[/tex]
