👤
Rozwiązane

Punkty: A(5;7), B(1;1) i C(3;3) są wierzchołkami trójkąta ABC.
1) oblicz obwód trójkąta;
2) oblicz długość środkowej BE trójkąta;
3) znajdź obraz tego trójkąta w symetrii osiowej względem osi OX;
4) znajdź obraz tego trójkąta w symetrii środkowej względem punktu P(0; 0)
5) napisz równanie prostej zawierającej wysokość CD trójkąta; (wskazówka:
wysokość jest prostopadła do podstawy, więc zawiera się w prostej prostopadłej
do prostej zawierającej podstawę)
6) oblicz pole tego trójkąta.

Odpowiedź :

123bodziogo

Odpowiedź:

A = ( 5 , 7 ) , B = (1 , 1 ) , C = (3 , 3 )

xa = 5 , xb = 1 , xc = 3 , ya = 7 , yb = 1 , yc = 3

1)

o - obwód trójkąta = IABI + IACI + IBCI

IABI = √[(xb - xa)² + (yb - ya)²] = √[(1 - 5)² + (1 - 7)²] = √[(- 4)² + (- 6)²] =

= √(16 + 36) = √52 = √(4 * 13) = 2√13 [j]

IACI = √[(xc - xa)² + (yc - ya)²] = √[(3 - 5)² + (3 - 7)²] = √[(- 2)² + (- 4)²] =

= √(4 + 16) = √20 = √(4 * 5) = 2√5 [j]

IBCI = √[(xc - xb)² + (yc - yb)²] = √[(3 - 1)² + (3 - 1)²] = √(2² + 2²) =

= √(4 + 4) = √(4 * 2) = 2√2 [j]

o - obwód trójkata = 2√13 + 2√5 + 2√2 = 2(√13 + √5 + √2) [j]

[j] - znaczy właściwa jednostka

2)

Środkowa BE łączy wierzchołek B ze środkiem odcinka IACI

E = (xe , ye)

xe = (xa + xc)/2 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4

ye = (ya + yc)/2 = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5

E = (4 , 5 )

IBEI = √[(xe - xb)² + (ye - yb)²] = √[(4 - 1)² + (5 - 1)²] = √(3² + 4²) =

= √(9 + 16) = √25 = 5 [j]

3)

W symetrii osiowej względem osi OX współrzędna x danego punktu pozostaje bez zmian , a współrzędna y danego punktu zmienia znak na przeciwny

A = (5 , 7 )

B = (1 , 1 )

C = (3 , 3 )

W symetrii osiowej względem osi OX

A' = (5 , - 7)

B = ( 1 , - 1 )

C' = (3 , - 3)

4)

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych

P = (0 , 0 ) , współrzędne punktów zmieniają wartości na przeciwne

A = (5 , 7 )

B = ( 1 , 1 )

C = ( 3 , 3 )

W symetrii osiowej względem punktu P = (0 , 0)

A' = (- 5 , - 7 )

B' = ( - 1 , - 1 )

C' = (- 3 , - 3 )

5)

Wysokość trójkąta ICDI jest prostopadła do boku IABI i przechodzi przez wierzchołek C

Obliczamy prostą przechodzącą przez wierzchołki A i B

(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x - xa)

(1 - 5)(y - 7) = (1 - 7)(x - 5)

- 4(y - 7) = - 6(x - 5)

- 4y + 28 = - 6x + 30

- 4y = - 6x + 30 - 28

- 4y = - 6x + 2

4y = 6x - 2

y = 6/4x - 2/4

y = 1 2/4x - 1/2

y = (1 1/2)x - 1/2

Obliczamy prostą prostopadłą i przechodząca przez punkt C

a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = 1 1/2

a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej

a₁ * a₂ = - 1

a₂ = - 1/a₁ = - 1 : 1 1/2 = - 1 : 3/2 = - 1 * 2/3 = - 2/3

prosta prostopadła przechodząca przez punkt C

y = a₂x + b₂

y = (- 2/3)x + b₂ , C = (3 , 3 )

3 = - 2/3 * 3 + b₂

3 = - 2 + b₂

b₂ = 3 + 2 = 5

y = (- 2/3)x + 5

6)

Obliczamy współrzędne punku D

układ równań

y = (1 1/2)x - 1/2

y = (- 2/3)x + 5

(1 1/2)x - 1/2 = (- 2/3)x + 5

3/2x - 1/2 = - 2/3x + 5 | * 6

3 * 3x - 3 = - 2 * 2x + 30

9x - 3 = - 4x + 30

9x + 4x = 30 + 3

13x = 33

x = 33/13 = 2 7/13

y = - 2/3x + 5 = - 2/3 * 33/13 + 5 = - 2 * 11/13 + 5 = - 22/13 + 5 =

= - 1 9/13 + 5 = - 1 9/13 + 4 13/13 = 3 4/13

D = ( 2 7/13 ; 3 4/13)

Obliczamy długość odcinka ICDI

ICDI = √[(xd - xc)² + (yd - yc)²] = √[(2 7/13 - 3)² + (3 4/13 - 3)²] =

= √[(2 7/13 - 2 13/13)² + (4/13)²] = √[(- 6/13)² + 16/168] =

= √(36/169 + 16/169) = √(52/169) = √52/13 = √(4 * 13)/13 = 2√13/13 [j]

Obliczamy pole trójkąta

P = 1/2 * IABI * ICDI = 1/2 * 2√13 * 2√13/13 = 1/2 * 4 * 13/13 =

= 1/2 * 4 = 2 [j²]

Go Studier: Inne Pytanie