Szczegółowe wyjaśnienie:
Chcąc sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie należy obliczyć granice jednostronne i przyrównać je do wartości funkcji (dla tego argumentu). Licząc granice jednostronne "nie przejmujemy" się symbolem nieoznaczonym [tex]\frac{0}{0}[/tex], gdyż w ich przypadku nie wstawiamy zer, a liczbę rzeczywistą poprzedzającą bądź też kolejną (odpowiednio granica lewo- i prawostronna). Wszystkie trzy wielkości muszą być takie same, by funkcja była ciągła. Obliczymy zatem granicę jednostronną dla [tex]x\to0^-[/tex].
[tex]lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x} =-1[/tex]
Wynik powyższej granicy wynika stąd, że zmienna jest liczbą ujemną nieskończenie bliską zeru, wartość bezwzględna redukuje znak liczby ujemnej. Natomiast w mianowniku minus zostaje. Zmienne możemy więc skrócić, należy jedynie zostawić znak minus (z mianownika), otrzymamy więc [tex]-1[/tex].
Tutaj w zasadzie moglibyśmy zakończyć nasz dowód ponieważ [tex]-1\neq 0[/tex], ale jeszcze dla zasady sprawdźmy sytuacje dla [tex]x\to0^+[/tex]:
[tex]lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x} =1[/tex]
Teraz nasza zmienna jest liczbą dodatnią. Wartość bezwzględną w tym przypadku możemy pominąć. W mianowniku jest teraz liczba dodatnia. Po skróceniu zmiennej otrzymamy wynik [tex]1[/tex].
