Żeby równanie ax²+bx+c=0 miało dwa rozwiązania musi być równaniem kwadratowym (a≠0) o wyróżniku dodatnim (Δ>0)
Oba rozwiązania ujemne oznaczają, że suma tych rozwiązań jest ujemna (x₁+x₂<0), a iloczyn dodatni (x₁·x₂>0),
więc w zadaniu muszą być spełnione cztery warunki:
[tex]\begin{cases}1^o\ \ a\ne0\\2^o\ \ \Delta >0\\3^o\ \ x_1+x_2<0\\4^o\ \ x_1\cdot x_2>0\end{cases}[/tex]
Czyli (korzystając z wzorów Viete'a):
[tex]\begin{cases}1^o\ \ a\ne0\\2^o\ \ b^2-4ac>0\\3^o\ \ \frac{-b}a<0\\4^o\ \ \frac ca>0\end{cases}[/tex]
[tex](m+2)x-(1-m)x+1+2m=0\\\\a=m+2\,,\ \ b=-(1-m)\,,\ \ c=1+2m[/tex]
Zatem:
a ≠ 0 ⇔ m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ -2
[tex]b^2-4ac>0 \\\\\ [-(1-m)]^2-4(m+2)(1+2m)>0 \\\\\ [1-m]^2-4(m+2m^2+2+4m)>0 \\\\ 1-2m+m^2-20m-8m^2-8>0 \\\\ -7m^2-22m-7>0\\\\ 7m^2+22m+7<0\\\\\Delta_m=22^2-4\cdot7\cdot7=484-196=288\\\\\sqrt{\Delta_m}=12\sqrt2\\\\m_1=\frac{-22+12\sqrt2}{2\cdot7}=-\frac{11+6\sqrt2}7\approx-2,78\\\\m_2=\frac{-22-12\sqrt2}{2\cdot7}=-\frac{11-6\sqrt2}7\approx-0,36[/tex]
[tex]m\in\left(-\frac{11+6\sqrt2}7\,,\ -\frac{11-6\sqrt2}7\right)[/tex]
[tex]\frac{-b}{a}<0\\\\\frac{1-m}{m+2}<0\quad\iff\quad(1-m)(m+2)<0\\\\-(m-1)(m+2)<0\\\\a_m<0\,,\ m_3=1\,,\ m_4=-2\\\\m\in(-\infty\,,\ -2)\cup(1\,,\ \infty)[/tex]
[tex]\frac ca>0\\\\\frac{1+2m}{m+2}>0\quad\iff\quad(1+2m)(m+2)>0\\\\a>0\,,\ m_5=-\frac12\,,\ m_6=-2\\\\m\in(-\infty\,,\ -2)\cup(-\frac12\,,\ \infty)[/tex]
Stąd:
[tex]\begin{cases}1^o\ \ m\ne-2\\2^o\ \ m\in\left(-\frac{11+6\sqrt2}7\,,\ -\frac{11-6\sqrt2}7\right)\\3^o\ \ x\in(-\infty\,,\ -2)\cup(1\,,\ \infty)\\4^o\ \ x\in(-\infty\,,\ -2)\cup(-\frac12\,,\ \infty)\end{cases}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\underline{\ \underline{m\in\left(-\frac{11+6\sqrt2}7\,,\ -2\right)}\ }[/tex]
