👤

11.37. Wykres funkcji określonej wzorem f(x) = ax +3 przechodzi przez punkt A= (-1/2 ; 1)
a) Oblicz współczynnik a.
b) Oblicz współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji f z osią x oraz z osią y. c) Podaj, dla jakich argumentów x funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie.​


Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]\boxed{\begin{array}{c|ll}a)&\multicolumn{2}{l}{a=4}\\b)&x=-\dfrac34&y=3\\c)&\left(-\infty; -\dfrac34\right\rangle\end{array}}[/tex]

Funkcja liniowa

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Postać kierunkowa funkcji liniowej:

[tex]\huge\boxed{f(x)=ax+b}[/tex]

gdzie:

  • a - współczynnik kierunkowy prostej
  • b - wyraz wolny

Prosta przechodząca przez punkt

Punkt P=(x₁, y₁) przechodzi przez prostą daną w postaci kierunkowej y=ax+b wtedy, kiedy zachodzi równość:

[tex]\huge\boxed{y_1=ax_1+b}[/tex]

Prosta przechodzi przez osie układu współrzędnych w punktach o współrzędnych:

  • (x, 0), jeżeli przechodzi przez oś OX
  • (0, y), jeżeli przechodzi przez oś OY

Miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią OX układu współrzędnych zwane jest miejscem zerowym.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej, należy rozwiązać równanie poprzez podstawienie współrzędnych punktu należącego do funkcji do wzoru funkcji.

a)

[tex]f(x)=ax+3\\A=\left(-\dfrac12; 1\right)\\\\1=-\dfrac12a+3 |-3\\1-3=-\dfrac12a\\\\-\dfrac12a=-2 |\cdot(-2)\\\\\boxed{a=4}[/tex]

________________________________________________________

Aby wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia się funkcji z osiami układu współrzędnych, należy kolejno podstawić:

  • y=0, aby wyznaczyć punkt przecięcia funkcji z osią OX
  • x=0, aby wyznaczyć punkt przecięcia funkcji z osią OY

b)

Punkt przecięcia z osią OX:

[tex]4x+3=0 |-3\\4x=-3 |:4\\x=-\dfrac34\\\boxed{\left(-\dfrac34; 0\right)}[/tex]

Punkt przecięcia z osią OY:

[tex]y=4\cdot 0+3\\y=0+3\\y=3\\\\\boxed{(0; 3)}[/tex]

________________________________________________________

Wartości niedodatnie to wartości mniejsze lub równe zeru. Aby wyznaczyć dla jakich argumentów funkcja przyjmuje takie wartości, należy rozwiązać nierówność lub naszkicować wykres funkcji i odczytać zbiór wartości mniejszych lub równych zeru z rysunku.

c)

[tex]f(x)\leq 0\\4x+3 \leq 0|-3\\4x\leq -3 |:4\\x\leq -\dfrac34\\\\\boxed{f(x) \leq 0 \text{ dla } x\in \left(-\infty; -\dfrac34\right\rangle}[/tex]