Odpowiedzi:
Zadanie 1:
[tex]\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}\:&\:&\:\\\:&y=-3(x-1)^2+4&y=2(x+2)^2-3\\\:&\:&\:\\\cline{1-3}\text{Wierzcholek}&W=(1; 3)&W=(-2; -3)\\\cline{1-3}\text{Zbior wartosci}&y\in(-\infty; 4\rangle&y\in\langle-3; \infty)\\\cline{1-3}\text{Os symetrii}&x=1&x=-2\\\cline{1-3}\text{Monotonicznosc}&f\uparrow:x\in(-\infty; 1\rangle&f\downarrow: x\in(-\infty; -2\rangle\\\:&f\downarrow:x\in\langle1; \infty)&f\uparrow:x\in\langle-2; \infty)\\\cline{1-3}\end{array}[/tex]
Zadanie 2:
[tex]\huge\boxed{W=\left(1\dfrac12; 9\dfrac12\right)}[/tex]
Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej
[tex]\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}[/tex]
gdzie:
- [tex]a, b, c[/tex] - współczynniki liczbowe
- [tex]a \neq 0[/tex]
Wyróżnik funkcji kwadratowej Δ
Jest to wartość pomocnicza dla funkcji kwadratowej, która pomaga nam określić liczbę i wartość miejsc zerowych oraz wartość "y" wierzchołka paraboli.
[tex]\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}[/tex]
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej
[tex]\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}[/tex]
gdzie:
- [tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy
- [tex]p, q[/tex] - współrzędne wierzchołka wykresu funkcji
Własności funkcji kwadratowej
- Wierzchołek
Współrzędne wierzchołka paraboli możemy odczytać ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej lub obliczyć za pomocą poniższych wzorów:
[tex]\boxed{\begin{array}{c}p=\dfrac{-b}{2a}\\\\q=\dfrac{-\Delta}{2a}\end{array}}[/tex] - Oś symetrii
Wykres funkcji kwadratowy jest symetralny wzdłuż prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli.
Wzór osi symetrii:
[tex]\boxed{x=p=\dfrac{-b}{2a}}[/tex] - Monotoniczność
Kierunek ramion paraboli jest zależny od współczynnika kierunkowego "a" funkcji kwadratowej.
Funkcja ma ramiona:
- skierowane w górę, jeżeli a>0
- skierowane w dół, jeżeli a<0.
W zależności od zwrotu ramion paraboli, funkcja jest rosnąca i malejąca w konkretnym przedziale.
Jeżeli ramiona skierowane są w górę, to funkcja najpierw jest malejąca aż do wierzchołka, a następnie rosnąca. Odwrotnie jest w przypadku ramion skierowanych w dół - funkcja jest najpierw rosnąca, potem malejąca.
[tex]\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3}\:&f\uparrow&f\downarrow\\\cline{1-3}a > 0&\langle p; \infty)&(-\infty; p\rangle\\\cline{1-3}a < 0&(-\infty; p\rangle&\langle p;\infty)\\\cline{1-3}\end{array}[/tex] - Zbiór wartości
Zbiór wartości, które przyjmuje funkcja, jest również zależny od kierunku zwrotu ramion. Jeżeli ramiona paraboli skierowane są w górę, to funkcja przyjmuje wartości począwszy od wierzchołka aż do nieskończoności. W przypadku ramion skierowanych w dół, funkcja przyjmuje wartości począwszy od pewnej ujemnej nieskończoności aż do wierzchołka.
[tex]\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2}\:&Z_w\\\cline{1-2}a > 0&\langle q; \infty)\\\cline{1-2}a < 0&(-\infty; q\rangle\\\cline{1-2}\end{array}[/tex]
Rozwiązanie:
Zadanie 1:
a)
[tex]y=-3(x-1)^2+4\\[/tex]
Odczytujemy parametry:
[tex]a=-3, p=1, q=4[/tex]
Własności funkcji:
- Wierzchołek: [tex]W=(1; 4)[/tex]
- Zbiór wartości funkcji: [tex]Z_w: y\in(-\infty; 4\rangle[/tex]
- Oś symetrii: [tex]x=1[/tex]
- Monotoniczność:
[tex]f\uparrow: x\in(-\infty; 1\rangle\\f\downarrow: x\in\langle1; \infty)[/tex]
b)
[tex]y=2(x+2)^2-3[/tex]
Odczytujemy parametry:
[tex]a=2, p=-2, q=-3[/tex]
Własności funkcji:
- Wierzchołek: [tex]W=(-2; -3)[/tex]
- Zbiór wartości funkcji: [tex]Z_w: y\in\langle -3; \infty)[/tex]
- Oś symetrii: [tex]x=-2[/tex]
- Monotoniczność:
[tex]f\downarrow: x\in(-\infty; -2\rangle\\f\uparrow: x\in\langle-2; \infty)[/tex]
Zadanie 2:
[tex]y=-2x^2+6x+5[/tex]
Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli, należy wyznaczyć Δ.
[tex]a=-2, b=6, c=5\\\Delta=6^2-4*(-2)*5=36+40=76\\[/tex]
[tex]p=\dfrac{-b}{2a}\to p=\dfrac{-6}{2\cdot(-2)}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac64=\dfrac32=1\dfrac12\\\\q=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-76}{4\cdot(-2)}=\dfrac{-76}{-8}=\dfrac{76}8=9\dfrac48=9\dfrac12[/tex]
[tex]\boxed{W=\left(1\dfrac12; 9\dfrac12\right)}[/tex]
