Odpowiedzi:
Zadanie 1:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c}\left\{\begin{array}{c}x=5\\y=-10\end{array}\right\:&\left\{\begin{array}{c}x=20\\y=20\end{array}\right\:\end{array}}[/tex]
Zadanie 2:
[tex]\boxed{\begin{array}{c|c}\left\{\begin{array}{c}a=12,5\\b=7,5\\c=4,5\\d=1,5\end{array}\right\:&\left\{\begin{array}{c}a=2\\b=4\\c=8\\d=12\end{array}\right\:\end{array}}[/tex]
Ciąg arytmetyczny
Ciągiem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o stałą wartość, którą nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}a_n=a_1+(n-1)\cdot r\\a_n=a_k+(n-k)\cdot r\end{array}}[/tex]
Jeżeli a₁, a₂, a₃ to kolejne wyrazy ciągu, to zachodzi równość:
[tex]\huge\boxed{a_2=\dfrac{a_1+a_3}2}[/tex]
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu:
[tex]\huge\boxed{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}[/tex]
Ciąg geometryczny
Ciągiem geometrycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba jest iloczynem poprzedniej liczby i pewnej stałej, nazywanej ilorazem ciągu geometycznego.
Wzor na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
[tex]\huge\boxed{\begin{array}{c}a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\a_n=a_k\cdot q^{n-k}\end{array}}[/tex]
Jeżeli a₁, a₂, a₃ to kolejne wyrazy ciągu, to zachodzi równość:
[tex]\huge\boxed{a_2^2=a_1\cdot a_3}[/tex]
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu:
[tex]\huge\boxed{S_n=\left\{\begin{array}{cc}a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}&\text{\: dla }q\neq 1\\a_1\cdot n &\text{\: dla }q=1\end{array}\right\:}[/tex]
Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Ciąg arytmetyczny:
[tex]a_1=15\\a_2=x\\a_3=5+y[/tex]
Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego:
[tex]x=\dfrac{15+5+y}2 /*2 \\\\\\2x=20+y /-20\\\\\underline{y=2x-20}[/tex]
Ciąg geometyczny:
[tex]b_1=x\\b_2=y\\b_3=20[/tex]
Korzystamy z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego:
[tex]\underline{y^2=20x}[/tex]
Łączymy oba wzory i wyznaczamy "x".
[tex]\left\{\begin{array}{c}y=2x-20\\y^2=20x\end{array}\right\:[/tex]
[tex](2x-20)^2=20x\\(2x)^2-2\cdot2x\cdot20+20^2=20x\\4x^2-80x+400=20x | -20x\\4x^2-100x+400=0 \\4(x^2-25x+100)=0 |:4\\x^2-25x+100=0\\\\\Delta=(-25)^2-4*1*100=625-400=225\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{225}=15\\\\\begin{array}{c|c}x_1=\dfrac{25-15}{2}=\dfrac{10}2=5&y_1=2*5-20=10-20=-10\\\\\cline{1-2}\:&\:\\x_2=\dfrac{25+15}2=\dfrac{40}2=20&y_2=2*20-20=40-20=20\end{array}[/tex]
Zadanie 2.
Nasze dane liczby: a, b, c, d
Znane nam zależności:
[tex]\begin{array}{ccc}a+d=14 |-d&\to&a=14-d\\b+c=12 |-c&\to&b=12-c\end{array}[/tex]
Ciąg geometryczny:
[tex]a_1=a=14-d\\a_2=b=12-c\\a_3=c\\\underline{(12-c)^2=c(14-d)}[/tex]
Ciąg arytmetyczny:
[tex]b_1=b=12-c\\b_2=c\\b_3=d\\c=\dfrac{12-c+d}2 |\cdot2\\2c=12-c+d |+c\\3c=12+d |-12\\\underline{d=3c-12}[/tex]
Przekształcenie:
[tex](12-c)^2=c[14-(3c-12)]\\144-24c+c^2=c(14-3c+12)\\c^2-24c+144=c(26-3c)\\c^2-24c+144=26c-3c^2 |-26c+3c^2\\4c^2-50c+144=0\\2(2c^2-25c+72)=0 |:2\\2c^2-25c+72=0\\\\\Delta=(-25)^2-4*2*72=625-576=49\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7[/tex]
[tex]\begin{array}{c|c}c_1=\dfrac{25-7}4=\dfrac{18}4=\dfrac92=4,5&c_2=\dfrac{25+7}4=\dfrac{32}4=8\\\\\cline{1-2}\\b_1=12-4,5=7,5&b_2=12-8=4\\\\\cline{1-2}\\d_1=3*4,5-12=1,5&d_2=3*8-12=12\\\\\cline{1-2}\\a_1=14-1,5=12,5&a_2=14-12=2\end{array}[/tex]
