Rozważaną sumę można przedstawi jako:
[tex]S=\sum_{i=1}^{50}{a_i}[/tex]
jeżeli teraz każdy składnik zmieniamy w odpowiedni sposób, to otrzymujemy nową sumę:
[tex]S_1=\sum_{i=1}^{50}{(a_i+i(-1)^i)}=\sum_{i=1}^{50}{a_i}+\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}\\S_1=S+\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}[/tex]
cała zadanie polega zatem na policzeniu tej drugiej sumy. Można ją podzielić jeszcze na dwie podsumy: składników dodatnich i ujemnych:
[tex]\sum_{i=1}^{50}{i(-1)^i}=-1-3-\ldots-49+2+4+\ldots+50[/tex]
Każda z tych podsum jest sumą ciągu arytmetycznego o różnicy -2
oraz 2:
[tex]-1-3-\ldots-49=\frac{-1-49}{2}\cdot25=-25\cdot25=-625\\2+4+\ldots+50=\frac{2+50}{2}\cdot25=26\cdot25=650\\S_1=S-625+650=S+25[/tex]
Wartość sumy wzrośnie o 25.
Można też dużo prościej, ale przez to mniej matematycznie. Wystarczy pogrupować składniki parami i zauważyć, że każda para to wzrost sumy o 1. Part jest 25, czyli cała suma wzrośnie o 25.
pozdrawiam
