Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa 8, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40° wynosi 484,8.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny to taki, który ma w podstawie kwadrat. Wierzchołek ostrosłupa znajduję się nad środkiem podstawy tego ostrosłupa, czyli w punkcie przecięcia się przekątnych podstawy.
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma postać:
[tex]V = \frac{1}{3} *P_{p} *H = \frac{1}{3} *a^{2} *H = \frac{1}{3} *\frac{d^{2} }{2} *H[/tex]
gdzie:
V - objętość ostrosłupa
Pp - pole podstawy ostrosłupa
H - wysokość ostrosłupa
a - długość krawędzi podstawy
d - długość przekątnej podstawy
Do obliczenia objętości ostrosłupa musimy znać pole podstawy, a zatem konieczne jest, aby obliczyć długość przekątnej podstawy. Korzystamy ze znajomości kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Na podstawie trójkąta AOS (rysunek w załączniku) wyznaczamy długość boku |AO| = x, który jest połową długości przekątnej podstawy tego ostrosłupa:
tg40° = H / x
x = H / tg40° = 8 / tg40°
Następnie obliczamy długość przekątnej kwadratu:
[tex]d = 2 * \frac{8}{tg40} = \frac{16}{tg40}[/tex]
Obliczamy pole podstawy:
[tex]P_{p} = \frac{1}{2} * d *d = \frac{d^{2} }{2} = \frac{(\frac{16}{tg40}) ^{2} }{2} = \frac{\frac{256}{(tg40)^2} }{16} = \frac{128}{(tg 40)^2}[/tex]
Obliczamy objętość ostrosłupa:
[tex]V = \frac{1}{3} * P_{p}*H= \frac{1}{3}* \frac{128}{(tg 40)^2}*8 = \frac{1024}{3*{(tg 40)^2}}[/tex] ≈ 484,8
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 484,8.
