Odpowiedź :
Żaden z ciągów nie jest geometryczny.
Wyróżniamy dwa szczególne ciągi
Ciąg arytmetyczny
Jest to to taki ciąg liczbowy, w którym każdy następny wyraz różni się o liczbę r (do poprzedniego wyrazu).
Ogólny wzór
[tex]a_n=a_n_+_1-r[/tex]
Różnica ciągu arytmetycznego jest oznaczana przez literkę r i jest to liczba powstająca przez odejmowanie od kolejnego wyrazu ciągu arytmetycznego swojego poprzednika.
[tex]r=a_n_+_1-a_n[/tex]
Ciąg geometryczny
Jest to ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez pewną liczbę q (iloraz ciągu), czyli dla każdego n spełniony jest warunek:
[tex]a_n=\frac{a_{n+1}}{q}[/tex]
Przekształcamy ten wzór
[tex]q=\frac{a_n_+_1}{a_n}[/tex]
Obliczamy iloraz ciągów
a) 1[tex]-\sqrt{2}[/tex], 1, 1 + [tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]a_1=1-\sqrt{2}\\ a_2=1\\a_3=1+\sqrt{2}[/tex]
[tex]q_1=\frac{a_2}{a_1} =\frac{1-\sqrt{2} }{1}=1-\sqrt{2}[/tex]
[tex]q_2=\frac{a_3}{a_2}= \frac{1+\sqrt{2} }{1}=1+\sqrt{2}[/tex]
Wniosek: [tex]q_1\neq q_2[/tex], czyli nie jest to ciąg geometryczny.
b) √3 , 1/2, 8, 4 √3
Prawdopodobnie jest błąd, w tym miejscu, w treści zadania, ponieważ ciągi miały być trzyelementowe, nie czteroelementowe.
[tex]a_1=\sqrt{3} \\a_2=\frac{1}{2}\\ a_3=8\\a_4=4\sqrt{3}[/tex]
[tex]q_1=\frac{a_3}{a_2} =\frac{8}{\frac{1}{2} }=16[/tex]
[tex]q_2=\frac{a_4}{a_3}=\frac{4\sqrt{3} }{8}[/tex] skracamy 4 i 8 przez 4
[tex]q_2=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Wniosek: [tex]q_1\neq q_2[/tex], czyli nie jest to ciąg geometryczny.
c) )-√5 - , 1/2 , √5+2/4
[tex]a_1=\sqrt{5} \\a_2=\frac{1}{2}\\ a_3=\sqrt{5} +\frac{2}{4} =\sqrt{5} +\frac{1}{2}[/tex]
[tex]q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{1}{2} }{\sqrt{5} }[/tex]
Usuwamy pierwiastek z mianownika, czyli musimy pomnożyć mianownik i licznik przez [tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]q_1=[/tex][tex]\frac{\frac{1}{2} }{\sqrt{5} } =\frac{\frac{1}{2} }{\sqrt{5}} x\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} =\frac{\frac{\sqrt{5}}{2} }{5}= {\frac{\sqrt{5}}{2} }x\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{5} }{10}[/tex]≈0.223...
[tex]q_2=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\sqrt{5}+\frac{1}{2} }{\frac{1}{2} } =({\sqrt{5}+\frac{1}{2}) :\frac{1}{2}= ({\sqrt{5}+\frac{1}{2})x2=2\sqrt{5}+1[/tex]≈5.472…
Wniosek: [tex]q_1\neq q_2[/tex], czyli nie jest to ciąg geometryczny.
d)- 2√3, 2√6, -√2
[tex]a_1=-2\sqrt{3}\\ a_2=2\sqrt{6}\\ a_3=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]q_1=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt{6} }{-2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6} }{\sqrt3} }[/tex]
Usuwamy pierwiastek z mianownika, czyli musimy pomnożyć mianownik i licznik przez [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]-\frac{\sqrt{6} }{\sqrt3} }x\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =-\frac{\sqrt{18} }{3} =-\frac{\sqrt{2x9} }{3}=-\frac{3\sqrt{2} }{3}=-\sqrt{2}[/tex]
[tex]q_2=\frac{a_3}{a_2}=-\frac{\sqrt{2} }{2\sqrt{6} }[/tex]
Usuwamy pierwiastek z mianownika, czyli musimy pomnożyć mianownik i licznik przez [tex]2\sqrt{6}[/tex]
[tex]q_2=-\frac{\sqrt{2} }{2\sqrt{6} }x\frac{2\sqrt{6} }{2\sqrt{6} } =\frac{\sqrt{3} }{6}[/tex]
Wniosek: [tex]q_1\neq q_2[/tex], czyli nie jest to ciąg geometryczny.