Oblicz współrzędne punktu symetrycznego do punktu a=(1 2) względem prostej o równaniu y=2x−1.

Krok 1: obliczyć wzór prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącą przez punkt a
Krok 2: obliczyć odległość punktu a od prostej, względem której mamy wyznaczyć symetryczny punkt
Krok 3: Wyznaczyć współrzędne punktu po drugiej stronie prostej w tej samej odległości co punkt a, na prostej prostopadłej

Prosta prostopadła

Gdy mamy dwie proste:

[tex]y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2[/tex]

to wiemy, że są one do siebie prostopadłe, gdy:

[tex]a_1*a_2=-1[/tex]

W naszym przypadku mamy prostą y=2x-1, czyli [tex]a_1=2[/tex]

Zatem korzystając z własności wyżej, obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:

[tex]2*a_2=-1 \\a_2=-\frac{1}{2}[/tex]

Wiemy więc, że ma ona postać:

[tex]y=-\frac{1}{2} x+b_2[/tex]

Aby obliczyć [tex]b_2[/tex] podstawiamy punkt przez który ma przechodzić, czyli a=(1,2):

[tex]2 = -\frac{1}{2}*1+b_2\\ 2=-\frac{1}{2} +b_2\\b_2=2+\frac{1}{2}\\ b_2 = \frac{5}{2}[/tex]

Zatem ostateczny wzór na prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt a to:

[tex]y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}[/tex]

Odległość punktu od prostej

Wzór na odległość punktu P=(x0,y0) od prostej w postaci ogólnej Ax+By+C=0 to:

[tex]d_{P,k}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2} }\\[/tex]

Przekształćmy zatem wzór naszej prostej na postać ogólną przenosząc y na drugą stronę:

[tex]y=2x-1\\2x-y-1=0[/tex]

Więc: A=2, B=-1, C=-1

Obliczamy więc odległość ze wzoru podstawiając współczynniki naszej funkcji i współrzędne punktu a:

[tex]d=\frac{|2*1-1*2-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2} }\\\\d=\frac{|-1|}{\sqrt{5} } =\frac{1}{\sqrt{5} }[/tex]

Współrzędne punktu symetrycznego

Punkt symetryczny musi znajdować się na prostej prostopadłej do prostej względem której wyznaczana jest symetria oraz w tej samej odległości od niej. Wiemy zatem, że punkt ten leży na prostej:[tex]y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}[/tex]

W odległości od prostej y=2x-1:

[tex]d=\frac{1}{\sqrt{5} }[/tex]

Ze wzoru na odległość mamy więc:

[tex]d=\frac{|2x_b-1y_b-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2} }\\\\\frac{1}{\sqrt{5} } =\frac{|2x_b-1y_b-1|}{\sqrt{5} }\\|2x_b-1y_b-1|=1[/tex]

Mamy więc dwa przypadki:

[tex]2x_b-1y_b-1=1[/tex]

oraz

[tex]2x_b-1y_b-1=-1[/tex]

Obliczamy najpierw przypadek pierwszy i podstawiamy za yb wzór funkcji prostopadłej, ponieważ punkt ten musi na niej leżeć:

[tex]2x_b-1(-\frac{1}{2}x_b+\frac{5}{2} )=2\\2x_b+\frac{1}{2}x_b-\frac{5}{2}=2\\\frac{5}{2} x_b=2+\frac{5}{2}\\ \frac{5}{2} x_b=\frac{9}{2} \\x_b=\frac{9}{5}[/tex]

podstawiając xb do prostej prostopadłej obliczamy yb:

[tex]y_b=-\frac{1}{2} *\frac{9}{5} +\frac{5}{2}\\y_b=-\frac{9}{10}+\frac{5}{2}\\ y_b= -\frac{9}{10}+\frac{25}{10}\\y_b=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}[/tex]

Zatem współrzędne punktu b, symetrycznego do a to:

[tex]b=(\frac{9}{5},\frac{8}{5} )[/tex]

Zobaczmy też co się stanie gdy rozwiążemy drugie równanie:

[tex]2x_b-1y_b-1=-1\\2x_b-1y_b=0\\2x_b-1(-\frac{1}{2} x_b+\frac{5}{2})=0\\2x_b+\frac{1}{2} x_b-\frac{5}{2}=0\\\frac{5}{2}x_b=\frac{5}{2}\\ x_b=1\\ y_b=-\frac{1}{2} *1+\frac{5}{2}\\y_b=\frac{4}{2}=2[/tex]

Otrzymaliśmy punkt a=(1,2), co potwierdza, że dobrze obliczyliśmy odległość i wyznaczyliśmy prostą prostopadłą.