Odpowiedź :
Równanie symetralnej odcinka ab gdy a=(1, 4), b=(3, 2) to y=x+1
Czym jest symetralna odcinka?
Jest to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek, a więc tak jak nazwa wskazuje dzieli go na dwie symetryczne części.
Środek odcinka
Środkiem odcinka AB, gdzie A=(x1,y1) oraz B=(x2,y2) jest punkt:
[tex]S=(\frac{x_1+x_2}{2} ,\frac{y_1+y_2}{2} )[/tex]
Zatem podstawiamy nasze punkty: a=(1, 4), b=(3, 2) i obliczamy środek odcinka ab:
[tex]S=(\frac{1+3}{2} ,\frac{4+2}{2} )\\S=(\frac{4}{2} ,\frac{6}{2} )\\S=(2,3)[/tex]
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Będziemy potrzebowali obliczyć prostą prostopadłą do odcinka ab. Aby to zrobić potrzebujemy jednak wcześniej obliczyć wzór prostej przechodzącej przez punkty a i b. Układamy więc układ równań;
[tex]\left \{ {{y_1=a*x_1+b} \atop {y_2=a*x_2+b}} \right. \\\left \{ {{4=1a+b} \atop {2=3a+b}} \right.[/tex]
i rozwiązujemy go np. za pomocą metody przeciwnych współczynników, mnożąc drugie równanie razy -1:
[tex]\left \{ {{4=1a+b} \atop {-2=-3a-b}} \right.[/tex]
Dodajemy stronami:
[tex]4-2=a-3a+b-b\\2=-2a\\a=-1[/tex]
i podstawiając do np. pierwszego równania obliczamy b:
[tex]4=a+b\\4=-1+b\\b=5[/tex]
Zatem prosta przechodząca przez punkty a i b ma postać:
[tex]y=-x+5[/tex]
Prosta prostopadła
Gdy mamy dwie proste:
[tex]y=a_1x+b_1\\y=a_2x+b_2[/tex]
to wiemy, że są one do siebie prostopadłe, gdy:
[tex]a_1*a_2=-1[/tex]
Nasza prosta, do której szukamy prostopadłej to y=-x+5, zatem a1=-1. Możemy więc obliczyć współczynnik kierunkowy drugiej prostej:
[tex]-1*a_2=-1\\-a_2=-1\\a_2=1[/tex]
Zatem nasza prosta prostopadła ma postać:
[tex]y=x+b_2\\[/tex]
Aby obliczyć b2 musimy podstawić środek naszego odcinka, czyli S=(2,3), ponieważ chcemy aby prosta prostopadła przechodziła właśnie przez ten środek:
[tex]3=2+b_2\\b_2=1[/tex]
Zatem ostateczna postać prostej prostopadłej do naszego odcinka, przechodzącej przez jego środek, czyli inaczej symetralnej tego odcinka to:
[tex]y=x+1[/tex]
Wniosek: Równanie symetralnej odcinka to y=x+1.
