∡DCE = 45°
Rysunek pomocniczy znajduje się w załączniku.
Wyznaczanie miary kąta DCE
Z informacji z zadania wiemy, że bok AC jest równy bokowi AE, a bok BC jest równy bokowi BD. Możemy wywnioskować, że trójkąt ACE i BDC jest równoramienny. Co za tym idzie kąty przy podstawie będą równe. Zapiszmy:
∡AEC = ∡ACE = β
∡BDC = ∡BCD = α
Z tego możemy wywnioskować, że (zobacz rysunek):
∡ACD = 90 - α
∡ECB = 90 - β
oznaczmy kąt DCE jako [tex]\gamma[/tex] (gamma).
∡DCE = [tex]\gamma[/tex] = 180 - α - β, ponieważ w trójkącie CDE suma miar kątów wynosi 180° i od 180° musimy odjąć i kąt α, i kąt β aby otrzymać kąt [tex]\gamma[/tex].
Z trójkąta ACB możemy zapisać (kąt ACB jest prostokątny i od niego odejmujemy dwa kąty, aby dostać kąt DCE):
[tex]\gamma=90-(90-\alpha )-(90-\beta )\\\gamma=90-90+\alpha -90+\beta \\\gamma=\alpha +\beta -90[/tex]
Mamy więc dwa równania, gdzie mamy ujętą [tex]\gamma[/tex]:
[tex]\gamma=\alpha +\beta -90\\\gamma=180-\alpha -\beta[/tex]
Przyrównajmy wartości [tex]\gamma[/tex] do siebie:
[tex]\alpha +\beta -90=180-\alpha -\beta \\2\alpha +2\beta =270\\\alpha +\beta =135[/tex]
Podstawmy wartość [tex]\alpha +\beta[/tex] do równania: [tex]\gamma=\alpha +\beta -90[/tex]
[tex]\gamma=135-90\\\gamma=45[/tex]
Kąt [tex]\gamma[/tex] , czyli ∡DCE ma miarę 45° co mieliśmy udowodnić.
