Odpowiedź :
Wyścig został rozegrany na dystansie 165 metrów.
Dystans, na jakim rozegrał się wyścig
Z treści zadania wiemy, że:
- Artur, Olga, Wiktor wystartowali w tym samym momencie i miejscu i biegli ze stałymi prędkościami
- w chwili przebiegnięcia całego dystansu przez Artura, Oldze do mety brakowało 15 m, a Wiktorowi 35 m
- w momencie, kiedy Olga przebiegła cały dystans, Wiktorowi pozostały do mety 22 m
Szukane:
s - długość całego dystansu wyrażona w metrach
Rozwiązanie:
1. Przy pomocy niewiadomej s (przy czym niech s należy do liczb naturalnych, czyli całkowitych i dodatnich) wyraźmy przebyty dystans przez każdego z uczestników w chwili, gdy Artur dobiegł do mety. Wówczas:
- Artur pokonał cały dystans, czyli: s
- Olga pokonała: s-15
- Wiktor pokonał: s-35
Czas ich biegu ([tex]t_0[/tex]) był taki sam, zatem ich prędkość możemy wyrazić następująco:
- prędkość Artura: [tex]v_a=\frac{s}{t_0}[/tex]
- prędkość Olgi: [tex]v_o=\frac{s-15}{t_0}[/tex]
- prędkość Wiktora: [tex]v_w=\frac{s-35}{t_0}[/tex]
2. W chwil, kiedy Olga dobiegła do mety, każdy z uczestników pokonał łącznie następującą odległość:
- Artur pokonał: s
- Olga pokonała: s, zatem od momentu pokonania dystansu przez Artura przebiegła: s-(s-15)=s-s+15=15 m
- Wiktor pokonał: s-22, zatem od momentu pokonania dystansu przez Artura przebiegł: s-22-(s-35)=s-22+s+35=13 m
3. Od momentu dobiegnięcia Artura do mety do chwili przybycia Olgi do mety, Olga pokonała 15 metrów, a Wiktor w tym samym czasie 13 metrów. Prędkości uczestników były stałe, zatem możemy ich wartości umieścić do przekształconych wyrażeń na czas, a następnie w miejscu drogi, podstawić przebyte przez nich odległości w czasie t:
- czas Olgi: [tex]t=\frac{15}{\frac{s-15}{t} }[/tex]
- czas Wiktora: [tex]t=\frac{13}{\frac{s-35}{t} }[/tex]
Następnie przyrównajmy czas Olgi do czasu Wiktora (są takie same):
[tex]\frac{15}{\frac{s-15}{t} }=\frac{13}{\frac{s-35}{t} }\\\\15\cdot\frac{t}{s-15} =13\cdot\frac{t}{s-35} \\\\15(s-35)=13(s-15)\\\\15s-525=13s-195\\\\2s=330\\\\s=165[/tex]
Uzyskujemy odpowiedź, że wyścig został rozegrany na dystansie 165 metrów.