👤

Artur, Olga i Wiktor uczestniczyli w wyścigu. Wystartowali z tego samego miejsca, w tym samym momencie i biegną ze stałymi prędkościami. Gdy Artur ukończył bieg, Olga miała 15 m do mety,

a Wiktor miał 35 m. Gdy Olga ukończyła bieg, Wiktorowi pozostały 22 m do mety. Na jakim dystansie został rozegrany wyścig?


Odpowiedź :

Wyścig został rozegrany na dystansie 165 metrów.

Dystans, na jakim rozegrał się wyścig

Z treści zadania wiemy, że:

  • Artur, Olga, Wiktor wystartowali w tym samym momencie i miejscu i biegli ze stałymi prędkościami
  • w chwili przebiegnięcia całego dystansu przez Artura, Oldze do mety brakowało 15 m, a Wiktorowi 35 m
  • w momencie, kiedy Olga przebiegła cały dystans, Wiktorowi pozostały do mety 22 m

Szukane:

s - długość całego dystansu wyrażona w metrach

Rozwiązanie:

1. Przy pomocy niewiadomej s (przy czym niech s należy do liczb naturalnych, czyli całkowitych i dodatnich) wyraźmy przebyty dystans przez każdego z uczestników w chwili, gdy Artur dobiegł do mety. Wówczas:

  • Artur pokonał cały dystans, czyli: s
  • Olga pokonała: s-15
  • Wiktor pokonał: s-35

Czas ich biegu ([tex]t_0[/tex]) był taki sam, zatem ich prędkość możemy wyrazić następująco:

  • prędkość Artura: [tex]v_a=\frac{s}{t_0}[/tex]
  • prędkość Olgi: [tex]v_o=\frac{s-15}{t_0}[/tex]
  • prędkość Wiktora: [tex]v_w=\frac{s-35}{t_0}[/tex]

2. W chwil, kiedy Olga dobiegła do mety, każdy z uczestników pokonał łącznie następującą odległość:

  • Artur pokonał: s
  • Olga pokonała: s, zatem od momentu pokonania dystansu przez Artura przebiegła: s-(s-15)=s-s+15=15 m
  • Wiktor pokonał: s-22, zatem od momentu pokonania dystansu przez Artura przebiegł: s-22-(s-35)=s-22+s+35=13 m

3. Od momentu dobiegnięcia Artura do mety do chwili przybycia Olgi do mety, Olga pokonała 15 metrów, a Wiktor w tym samym czasie 13 metrów. Prędkości uczestników były stałe, zatem możemy ich wartości umieścić do przekształconych wyrażeń na czas, a następnie w miejscu drogi, podstawić przebyte przez nich odległości w czasie t:

  • czas Olgi: [tex]t=\frac{15}{\frac{s-15}{t} }[/tex]
  • czas Wiktora: [tex]t=\frac{13}{\frac{s-35}{t} }[/tex]

Następnie przyrównajmy czas Olgi do czasu Wiktora (są takie same):

[tex]\frac{15}{\frac{s-15}{t} }=\frac{13}{\frac{s-35}{t} }\\\\15\cdot\frac{t}{s-15} =13\cdot\frac{t}{s-35} \\\\15(s-35)=13(s-15)\\\\15s-525=13s-195\\\\2s=330\\\\s=165[/tex]

Uzyskujemy odpowiedź, że wyścig został rozegrany na dystansie 165 metrów.