Odpowiedź :
Suma liczb wynosi 981
Obliczanie sumy ciągu arytmetycznego
Szukamy sumy wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 2.
Najmniejszą liczbą dwucyfrową, która podzielona przez 5 daje resztę 2 to 12 ( 12 = 5 * 2 + 2 ).
Największą liczbą dwucyfrową, która podzielona przez 5 daje resztę 2 to 97 ( 97 = 5 * 19 + 2 )
Należy więc obliczyć sumę liczb:
12 + 17 + 22 + 27 + ... + 97
Kolejne liczby w tym ciągu to liczby, które podzielone przez 5 dają resztę 2
- 17 = 5 * 3 + 2
- 22 = 5 * 4 +2
- 27 = 5 * 5 + 2
I tak dalej.
Jest tu suma ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz [tex]a_{1}[/tex] = 12, a ostatnim [tex]a_{n}[/tex] = 97
Różnica ciągu r jest równa 5, ponieważ kolejne liczby w ciągu są powiększone o 5.
Obliczamy, ile wyrazów liczy ten ciąg z wzoru ogólnego na ciąg arytmetyczny:
[tex]a_{n}[/tex] = [tex]a_{1}[/tex] + (n - 1) * r
n oznacza liczbę wyrazów w ciągu.
97 = 12 + (n - 1) * 5
97 = 12 + 5n - 5
5n = 97 - 12 + 5
5n = 90
n = 18
Ciąg liczy 18 wyrazów.
Obliczamy sumę wyrazów w ciągu ze wzoru:
[tex]S_{n}[/tex] = [tex]\frac{a_{1}+a_{n} }{2}[/tex] * n
[tex]S_{n}[/tex] = [tex]\frac{12+97 }{2}[/tex] * 18
[tex]S_{n}[/tex] = [tex]\frac{109 }{2}[/tex] * 18
[tex]S_{n}[/tex] = 109 * 9 = 981
Suma wszystkich wyrazów w ciągu jest równa 981