👤

W sklepie w kartonie znajduje sie 20 zarowek wsrod nich jest pewna liczba zarowek wadliwych. Losujemy kolejno, bez zwracania, dwa razy po jednej żarówce. Ile co najwyżej znajduje sie w tym kartonie, jesli prawdopodobieństwo wylosowania jednej zarowki dobrej i jednej wadliwej jest wieksze od 0,1?.

Odpowiedź :

Jest co najwyżej 18 dobrych żarówek.

Obliczamy ile maksymalnie może być dobrych żarówek w kartonie.

Oznaczmy sobie:

  • n - liczba dobrych żarówek
  • 20-n - liczba wadliwych żarówek

Mamy zdarzenie, w których losujemy żarówkę dobrą i wadliwą z kartonu. Możemy najpierw wylosować dobrą żarówkę, potem wadliwą albo odwrotnie, najpierw wadliwą, potem dobrą.

W załączniku narysowano drzewko obrazujące możliwości wylosowania dwóch żarówek i zaznaczono gałęzie, które bierzemy pod uwagę przy obliczaniu prawdopodobieństwa wylosowania dwóch wskazanych żarówek.

Zapisujemy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch żarówek (jednej dobrej i jednej wadliwej).

[tex]\frac{n}{20}\cdot\frac{20-n}{19}+\cdot\frac{20-n}{20}\cdot\frac{n}{19} > 0,1[/tex]

Przekształcamy powyższą nierówność i wyznaczamy możliwie największe n, które ją spełnia.

[tex]\frac{20n-n^2}{380}+\frac{20n-n^2}{380} > 0,1[/tex]

[tex]20n-n^2+20n-n^2 > 0,1\cdot380[/tex]

[tex]40n-2n^2 > 38[/tex]

[tex]20n-n^2 > 19[/tex]

[tex]20n-n^2-19 > 0[/tex]

[tex]n^2-20n+19 < 0[/tex]

[tex](n-19)(n-1) < 0[/tex]

[tex]n\in(1,19)[/tex]

Największe możliwe n jest równe 18.

Wniosek: Może być maksymalnie 18 dobrych żarówek.

Zobacz obrazek Monika1n3