Krawędź podstawy jest równa 5 cm.
Zadanie optymalizacyjne rozwiązujemy wobec schematu:
Zacznijmy sobie więc od narysowania takiego prostopadłościan i wprowadźmy sobie oznaczenia:
Wiemy, że suma wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 60 cm. Mamy 8 krawędzi podstawy i 4 krawędzie boczne. Zapiszmy więc to:
[tex]8a+4h=60/:4\\\\2a+h=15[/tex]
Wyznaczmy sobie z tego parametr h:
[tex]h=15-2a[/tex]
Utwórzmy teraz wzór na objętość prostopadłościanu wyrażoną wyłącznie za pomocą jednej niewiadomej:
[tex]V=P_p*h=a^2*h=a^2(15-2a)[/tex]
Wiemy, że boki są wielkościami rzeczywistymi, zatem nie mogą być one liczbami ujemnymi ani zerem. Patrząc na objętość zauważamy, że w takim przypadku:
[tex]a^2 > 0 \wedge15-2a > 0\\\\a > 0 \wedge -2a > -15\\\\a > 0\wedge a < 7,5\\\\a\in (0; 7,5)[/tex]
Wyznaczyliśmy dziedzinę rozwiązania, czyli w jakim przedziale rozpatrujemy długości boków podstawy.
Wcześniej wyznaczyliśmy wzór na objętość. Musimy obliczyć teraz jego pochodną.
[tex]V(a)=a^2(15-2a)=-2a^3+15a^2\\\\V'(a) = -6a^2+30a[/tex]
Ekstremum lokalne znajduje się w miejscach gdzie pochodna się zeruje. Zatem musimy sprawdzić dla jakich a:
[tex]V'(a)=0\\\\-6a^2+30a=0\\\\a(-6a+30)=0\\\\a=0\vee-6a+30=0\\\\a=0 \vee -6a=-30/:(-6)\\\\a=0 \vee a=5[/tex]
Pochodna zeruje się w dwóch miejscach, tzn. że w tych punktach mamy do czynienia z ekstremami lokalnymi. Naszkicujmy sobie wykres tej pochodnej (w załączniku). Pochodna zmienia znak w punkcie a = 0 z - na + to oznacza, że V(a) osiąga tam minimum. My jednak poszukujemy największej objętości, zatem szukamy maksimum. Widzimy, że w punkcie a = 5 cm pochodna V'(x) zmienia znak z + do -, więc osiąga maksimum lokalne, co czyni tą wartość kandydatem do rozwiązania. Pozostaje nam tylko sprawdzić czy to rozwiązanie należy do dziedziny.
[tex]a=5\in(0;7,5)[/tex]
Zatem naszym rozwiązaniem jest a = 5 cm.
