Odpowiedź :
Dodatnich liczb całkowitych mniejszych niż 2 000 000, podzielnych przez 3, i które w zapisie mają tylko cyfry 0, 1, 2 jest 329.
Obliczamy ile jest liczb podzielnych przez 3, które w zapisie mają tylko cyfry 0, 1, 2 i są mniejsze od 2 000 000.
Pamiętamy, że liczba podzielna przez 3, to taka, której suma cyfr jest podzielna przez 3.
Aby liczba składająca się z cyfr 0, 1, 2 była podzielna przez 3, to musi być spełniony jeden z poniższych warunków:
- w zapisie dziesiętnym cyfra 1 i cyfra 2 występują tyle samo razy,
- w zapisie dziesiętnym liczba 1 występuje 3 lub 6 razy, a pozostałymi cyframi są 0,
- w zapisie dziesiętnym liczba 2 występuje 3 lub 6 razy, a pozostałymi cyframi są 0.
Pamiętamy również, że dla żadnej z liczb 0 nie stoi na pierwszym miejscu.
Obliczamy, ile jest liczb JEDNOCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
0
Obliczamy, ile jest liczb DWUCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1 i raz cyfra 2 - wówczas wybieramy na którym miejscu stanie "1", a na niewybranym miejscu wpisujemy "2". Liczba takich przypadków to: 2
Obliczamy, ile jest liczb TRZYCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1, raz cyfra 2, raz cyfra 0 - wówczas wybieramy na którym z dwóch możliwych miejsc stanie "0" (na pierwszym nie może stanąć), następnie wybieramy na którym miejscu z pozostałych dwóch stanie cyfra "2" a na niewybranym miejscu wpisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to: 2x2=4
- w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 - liczba takich przypadków to 1
- w liczbie występuje trzy razy cyfra 2 - liczba takich przypadków to 1
Liczba wszystkich liczb trzycyfrowych spełniających podane warunki
4+1+1=6
Obliczamy, ile jest liczb CZTEROCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1, raz cyfra 2, dwa razy cyfra 0 - wówczas wybieramy na których z trzech możliwych miejsc stanie "0" (na pierwszym nie może stanąć), następnie wybieramy na którym miejscu z pozostałych dwóch stanie cyfra "2" a na niewybranym miejscu wpisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{3 \choose 2} \cdot2=\frac{3!}{2!\cdot1!}\cdot2=3\cdot2=\mathbf{6}[/tex] - w liczbie występuje dwa razy cyfra 1, dwa razy cyfra 2 - wówczas wybieramy na których miejscach stanie cyfra "1", a na pozostałych ustawiamy cyfrę "2" Liczba takich przypadków to
[tex]{4 \choose 2}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{4\cdot3\cdot2!}{2!\cdot2!}=\frac{12}{2!}=\mathbf{6}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 , raz cyfra 0- wówczas wybieramy, na którym z trzech możliwych miejsc stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę 1. Liczba takich przypadków to 3
- w liczbie występuje trzy razy cyfra 2, raz cyfra 0 - wówczas wybieramy, na którym z trzech możliwych miejsc stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę 2. Liczba takich przypadków to 3
Liczba wszystkich liczb czterocyfrowych spełniających podane warunki
6+6+3+3=18
Obliczamy, ile jest liczb PIĘCIOCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1, raz cyfra 2, trzy razy cyfra 0 - wówczas wybieramy na których z czterech możliwych miejsc stanie "0" (na pierwszym nie może stanąć), następnie wybieramy na którym miejscu z pozostałych dwóch stanie cyfra "2" a na niewybranym miejscu wpisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{4 \choose 3} \cdot2=\frac{4!}{3!\cdot1!}\cdot2=4\cdot2=\mathbf{8}[/tex] - w liczbie występuje dwa razy cyfra 1, dwa razy cyfra 2, raz cyfra 0 - wówczas wybieramy na którym miejscu stanie cyfra 0, następnie na których miejscach stanie cyfra "1", a na pozostałych ustawiamy cyfrę "2" Liczba takich przypadków to
[tex]4\cdot{4 \choose 2}=4\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=\mathbf{24}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 , dwa razy cyfra 0- wówczas wybieramy, na których miejscach stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{4\choose2}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\mathbf{6}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 2, dwa razy cyfra 0 - wówczas wybieramy, na których miejscach stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "2". Liczba takich przypadków to:
[tex]{4\choose2}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\mathbf{6}[/tex]
Liczba wszystkich liczb pięciocyfrowych spełniających podane warunki
8+24+6+6=44
Obliczamy, ile jest liczb SZEŚCIOCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1, raz cyfra 2, cztery razy cyfra 0 - wówczas wybieramy na których z pięciu możliwych miejsc stanie "0" (na pierwszym nie może stanąć), następnie wybieramy na którym miejscu z pozostałych dwóch stanie cyfra "2" a na niewybranym miejscu wpisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{5 \choose 4} \cdot2=\frac{5!}{4!\cdot1!}\cdot2=5\cdot2=\mathbf{10}[/tex] - w liczbie występuje dwa razy cyfra 1, dwa razy cyfra 2, dwa cyfra 0 - wówczas wybieramy na którym miejscu stanie cyfra 0, następnie na których miejscach stanie cyfra "1", a na pozostałych ustawiamy cyfrę "2" Liczba takich przypadków to
[tex]{5\choose 2}\cdot{4 \choose 2}=\frac{5!}{3!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{5\cdot4}{2}\cdot\frac{4\cdot3}{2}=10\cdot6=\mathbf{60}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 i trzy razy cyfra 2 - wówczas wybieramy na których miejscach stanie cyfra 1, a pozostałe miejsca uzupełniamy cyfrą 2. Liczba takich przypadków to:
[tex]{6\choose 3}=\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\mathbf{20}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 , trzy razy cyfra 0- wówczas wybieramy, na których miejscach stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{5\choose3}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot4}{2}=\mathbf{10}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 2, trzy razy cyfra 0 - wówczas wybieramy, na których miejscach stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "2". Liczba takich przypadków to:
[tex]{5\choose3}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5\cdot4}{2}=\mathbf{10}[/tex] - w liczbie występuje sześć razy cyfra 1 - wówczas liczba takich przypadków to: 1
- w liczbie występuje sześć razy cyfra 2 - wówczas liczba takich przypadków to: 1
Liczba wszystkich liczb sześciocyfrowych spełniających podane warunki
10+60+20+10+10+1+1=112
Obliczamy, ile jest liczb SIEDMIOCYFROWYCH, które spełniają dany warunek.
Ponieważ liczba ma być mniejsza od 2 000 000, to na pierwszym miejscu nie możemy postawić także cyfry "2", zatem odrzucamy wszystkie przypadki, gdzie w zapisie będą same cyfry "2" i "0".
Możliwe przypadki:
- w liczbie występuje raz cyfra 1, raz cyfra 2, pięć razy cyfra 0 - wówczas na pierwszym miejscu zapisujemy cyfrę "1", następnie wybieramy na których z sześciu możliwych miejsc stanie "0", a na niewybranym miejscu wpisujemy cyfrę "2". Liczba takich przypadków to:
[tex]{6 \choose 5} =\frac{6!}{5!\cdot1!}=\mathbf{6}[/tex] - w liczbie występuje dwa razy cyfra 1, dwa razy cyfra 2, trzy cyfra 0 - wówczas na pierwszym miejscu zapisujemy cyfrę "1", następnie wybieramy na których z sześciu możliwych miejsc stanie "0", wybieramy miejsce dla drugiej "1" i na pozostałych zapisujemy cyfrę "2". Liczba takich przypadków to:
[tex]{6\choose 3}\cdot3=\frac{6!}{3!\cdot3!}\cdot3=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2}\cdot3=20\cdot3=\mathbf{60}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 i trzy razy cyfra 2, raz cyfra 0 - wówczas na pierwszym miejscu zapisujemy cyfrę "1", następnie wybieramy na którym z sześciu możliwych miejsc stanie "0", wybieramy miejsce dla pozostałych dwóch "1" i na niewybranych miejscach zapisujemy cyfrę "2". Liczba takich przypadków to:
[tex]6\cdot{5\choose 2}=6\cdot\frac{5!}{2!\cdot3!}=6\cdot\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=6\cdot10=\mathbf{60}[/tex] - w liczbie występuje trzy razy cyfra 1 , cztery razy cyfra 0- wówczas wybieramy, na których miejscach stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to:
[tex]{6\choose4}=\frac{6!}{4!\cdot2!}=\frac{6\cdot5}{2}=\mathbf{15}[/tex] - w liczbie występuje sześć razy cyfra 1, raz cyfra 0 - wówczas wybieramy, na którym miejscu stanie cyfra "0", na pozostałych zapisujemy cyfrę "1". Liczba takich przypadków to: 6
Liczba wszystkich liczb siedmiocyfrowych spełniających podane warunki
6+60+60+15+6=147
Obliczamy ile jest wszystkich liczb spełniających warunki zadania.
2+6+18+44+112+147=329
Wniosek: Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest 329.