Odpowiedź :
Rozwiązanie:
a) Wzór w postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=a(x-3)(x+1)[/tex]
b) Wzór w postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=a(x+6)(x-0)[/tex]
c) Wzór w postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=a(x+4)(x-0)[/tex]
d) Wzór w postaci iloczynowej:
brak postaci iloczynowej
Funkcja kwadratowa - postać kanoniczna, iloczynowa i ogólna.
a)
[tex]f(x)=(x-1)^2-4[/tex]
Najpierw zamienimy postać kanoniczną na postać ogólną. W tym celu spotęgujemy nawias, a następie zsumujemy wyrazy podobne.
[tex]f(x)=(x-1)^2-4\\f(x)=x^2-2x+1-4\\f(x)=x^2-2x-3[/tex]
W postaci ogólnej:
a = 1
b = -2
c = -3
Następnie obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:
Δ = b² - 4·a·c
Δ = (-2)² - 4·1·(-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
Delta ma wartość dodatnią, więc ta funkcja będzie miała dwa miejsca zerowe.
[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_1=\frac{2+\sqrt{16} }{2}\\\\x_1=\frac{2+4 }{2}\\\\x_1=\frac{6 }{2}\\\\x_1=3[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_2=\frac{2-\sqrt{16} }{2}\\\\x_2=\frac{2-4 }{2}\\\\x_2=\frac{-2}{2}\\\\x_2=-1[/tex]
Po obliczeniu miejsc zerowych wstawimy je do postaci iloczynowej i otrzymamy wzór funkcji w postaci iloczynowej.
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\f(x)=a(x-3)(x+1)[/tex]
b)
[tex]f(x)=-1(x+3)^2+9[/tex]
Najpierw zamienimy postać kanoniczną na postać ogólną. W tym celu spotęgujemy nawias, a następie zsumujemy wyrazy podobne.
[tex]f(x)=-1(x+3)^2+9\\\\f(x)=-1(x^2+6x+9)+9\\\\f(x)=-x^2-6x-9+9\\\\f(x)=-x^2-6x[/tex]
W postaci ogólnej:
a = -1
b = -6
c = 0
Następnie obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:
Δ = b² - 4·a·c
Δ = (-6)² - 4·(-1)·0
Δ = 36 - 0
Δ = 36
Delta ma wartość dodatnią, więc ta funkcja będzie miała dwa miejsca zerowe.
[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_1=\frac{6+\sqrt{36} }{-2}\\\\x_1=\frac{6+6}{-2}\\ \\x_1=\frac{12}{-2}\\\\x_1=-6[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_2=\frac{6-\sqrt{36} }{-2}\\\\x_2=\frac{6-6}{-2}\\ \\x_2=\frac{0}{-2} \\\\x_2=0[/tex]
Po obliczeniu miejsc zerowych wstawimy je do postaci iloczynowej i otrzymamy wzór funkcji w postaci iloczynowej.
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\f(x)=a(x+6)(x-0)[/tex]
c)
[tex]f(x)=-9(x+2)^2+36[/tex]
Najpierw zamienimy postać kanoniczną na postać ogólną. W tym celu spotęgujemy nawias, a następie zsumujemy wyrazy podobne.
[tex]f(x)=-9(x+2)^2+36\\\\f(x)=-9(x^2+4x+4)+36\\\\f(x)=-9x^2-36x-36+36\\\\f(x)=-9x^2-36x[/tex]
W postaci ogólnej:
a = -9
b = -36
c = 0
Następnie obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:
Δ = b² - 4·a·c
Δ = (-36)² - 4·(-9)·0
Δ = 1296 - 0
Δ = 1296
Delta ma wartość dodatnią, więc ta funkcja będzie miała dwa miejsca zerowe.
[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_1=\frac{36+\sqrt{1296} }{-18}\\\\x_1=\frac{36+36 }{-18}\\\\x_1=\frac{72 }{-18}\\\\x_1=-4[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{delta} }{2a}\\\\x_2=\frac{36-\sqrt{1296} }{-18}\\\\x_2=\frac{36-36}{-18}\\ \\x_2=\frac{0}{-18}\\ \\x_2=0[/tex]
Po obliczeniu miejsc zerowych wstawimy je do postaci iloczynowej i otrzymamy wzór funkcji w postaci iloczynowej.
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\\\f(x)=a(x+4)(x-0)[/tex]
d)
[tex]f(x)=2(x-3)^2+4[/tex]
Najpierw zamienimy postać kanoniczną na postać ogólną. W tym celu spotęgujemy nawias, a następie zsumujemy wyrazy podobne.
[tex]f(x)=2(x-3)^2+4\\\\f(x)=2(x^2-6x+9)+4\\\\f(x)=2x^2-12x+18+4\\\\f(x)=2x^2-12x+22[/tex]
W postaci ogólnej:
a = 2
b = -12
c = 22
Następnie obliczmy miejsca zerowe tej funkcji:
Δ = b² - 4·a·c
Δ = (-12)² - 4·2·22
Δ = 144 - 176
Δ = -32
Delta ma wartość ujemną, więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych.
A jeśli nie ma miejsc zerowych to nie ma postaci iloczynowej.
#SPJ4