Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb,których suma odległości od liczby -4 i od liczby 3 jest równa 12.

Moduł liczby to wartość danej liczby z dziedziny rzeczywistej, która nie uwzględnia jej znaku. Zatem moduł liczby dodatniej to ta sama liczba, a moduł liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna.

Wartość bezwzględną zapisujemy w pionowych kreskach, np. dla liczby x mamy [tex]|x|[/tex], i jego wartość określamy następująco:

[tex]|x|=\left \{ {{x \quad \text{dla} \quad x \ge 0} \atop {-x \quad \text{dla} \quad x < 0}} \right.[/tex]

Pod modułem możemy wykonywać różne działania. Pomaga nam to zapisywać np. odległość liczby x od innej liczby na osi liczbowej. Dla przykładu zapis [tex]|x-5|[/tex] oznacza nam odległość liczby x od liczby 5. Jeśli mamy ponadto podane, że odległość ta wynosi konkretną wartość, np. 2, możemy ułożyć równanie [tex]|x-5|=2[/tex], które pozwoli nam znaleźć tę liczbę x.

Dla liczb [tex]a,b\in\mathbb{R}[/tex] takich, że [tex]a < b[/tex], czyli [tex]a-b < 0[/tex], mamy następującą własność:

[tex]|a-b|=b-a[/tex].

Szukamy liczb, których suma odległości od liczby -4 i od liczby 3 wynosi 12. Oznaczmy szukane liczby jako x. Zatem odległość x od liczby -4 możemy zapisać w postaci: [tex]|x-(-4)|=|x+4|[/tex], a odległość x od liczby 3 jako: [tex]|x-3|[/tex]. Skoro wiemy, że suma tych odległości ma wynosić 12, możemy zapisać następujące równanie:

[tex]|x+4|+|x-3|=12[/tex].

Aby rozwiązać takie równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi, należy podzielić zbiór liczb rzeczywistych na pewne przedziały i określić znak wyrażeń pod modułami na tych przedziałach. Punkty podziału dziedziny rzeczywistej wyznaczą nam wartości x takie, że wyrażenia pod modułami są równe 0. Zatem mamy:

[tex]x+4=0/-4\\x=-4[/tex]

oraz

[tex]x-3=0/+3\\x=3[/tex]

Podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały [tex](-\infty,-4],(-4,3],(3,+\infty)[/tex] i na każdym z nich oddzielnie rozwiążemy powyższe równanie.

[tex]x\in(-\infty,-4][/tex]
W tym przedziale mamy: [tex]x+4 < 0= > |x+4|=-x-4[/tex] oraz [tex]x-3 < 0= > |x-3|=-x+3[/tex]. Równanie ma postać:

[tex]-x-4-x+3=12\\-2x-1=12/+1\\-2x=13/:(-2)\\x=-\frac{13}2=-6\frac12\in(-\infty,-4][/tex]

Zatem wyznaczony x jest jednym z rozwiązań równania.
[tex]x\in(-4,3][/tex]
W tym przedziale mamy: [tex]x+4 > 0= > |x+4|=x+4[/tex] oraz [tex]x-3 < 0= > |x-3|=-x+3[/tex]. Równanie ma postać:

[tex]x+4-x+3=12\\7=12[/tex]

Dostajemy sprzeczność. Na tym przedziale równanie nie ma rozwiązań.
[tex]x\in(3,+\infty)[/tex]
W tym przedziale mamy: [tex]x+4 > 0= > |x+4|=x+4[/tex] oraz [tex]x-3 > 0= > |x-3|=x-3[/tex]. Równanie ma postać:

[tex]x+4+x-3=12\\2x+1=12/-1\\2x=11/:2\\x=\frac{11}2=5\frac12\in(4,+\infty)[/tex]

Zatem wyznaczony x jest rozwiązaniem równania.

Sumując rozwiązania z powyższych trzech przypadków, dostajemy, że szukany zbiór liczb spełniający warunek podany w treści zadania jest zbiorem dwuelementowym: [tex]x\in\{-6\frac12,5\frac12\}[/tex].

Zbiór rozwiązań zaznaczony na osi w załączniku.