Arytmetyka. Działania na liczbach naturalnych.
Oblicz:
8 · 3⁶ + 9³ = 6 561
Rozwiązanie:
METODA 1:
Kłania nam się tutaj definicja potęgi o wykładniku naturalnym oraz kolejność wykonywania działań.
Definicja potęgi o wykładniku naturalnym:
[tex]a^2=a\cdot a\\\\a^3=a\cdot a\cdot a\\\\a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a\\\vdots\\a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n}[/tex]
Ponadto
[tex]a^1=a\\\\a^0=1[/tex]
Kolejność wykonywania działań:
- Działania w nawiasach, w których nie ma innych nawiasów.
- Potęgowanie/pierwiastkowanie.
- Mnożenie/dzielenie.
- Dodawanie/odejmowanie.
W naszym zadaniu pierwsze będzie potęgowanie. Następnie mnożenie. Na końcu dodawanie.
Obliczamy:
[tex]3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=9\cdot9\cdot9=81\cdot9=81\cdot10-81=810-81=729\\\\9^3=8\cdot9\cdot9=81\cdot9=729\\\\8\cdot3^6+9^3=8\cdot729+729=5832+729=6\ 561[/tex]
METODA 2:
Skorzystamy z twierdzeń:
[tex](a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
oraz z rozdzielności mnożenia względem dodawania:
[tex]a(b+c)=ab+ac[/tex]
[tex]8\cdot3^6+9^3=8\cdot3^{2\cdot3}+9^3=8\cdot(3^2)^3+9^3=8\cdot9^3+9^3=9^3\cdot(8+1)\\\\=9^3\cdot9=9^{3+1}=9^4=9\cdot9\cdot9\cdot9=81\cdot81=6\ 561[/tex]
