Energię całkowitą można obliczyć np. dla maksymalnego wychylenia z położenia równowagi (nie ma wtedy energii kinetycznej, co upraszcza rachunek)
[tex]E=\frac{m\omega_0^2A^2}{2}[/tex]
Dowcip polega na tym, że amplituda maleje, bo są to drgania tłumione i energia ulega dyssypacji. Mama zatem pewną energię początkową:
[tex]E_0=\frac{m\omega_0^2A_0^2}{2}[/tex]
oraz energię po czasie dwóch okresów:
[tex]E_2=\frac{m\omega_0^2A_2^2}{2}[/tex]
Związek między tymi amplitudami dane jest logarytmicznym dekrementem tłumienia.
[tex]\Lambda=\ln{\frac{A_{n}}{A_{n+1}}}=\ln(\frac{A_1}{A_0}}\cdot\frac{A_0}{A_2})\\\Lambda=-\ln{\frac{A_0}{A_1}}+\ln{\frac{A_0}{A_2}}[/tex]
Drugi dowcip jest taki, że dla ruchu harmonicznego Λ nie zależy od czasu, tzn. ma taką samą wartość dla dwóch dowolnych, kolejnych amplitud. Zatem:
[tex]\Lambda=-\Lambda+\ln{\frac{A_0}{A_2}}\\\frac{A_0}{A_2}=e^{2\Lambda}[/tex]
[tex]\frac{E_0}{E_2}=(\frac{A_0}{A_2})^2=e^{4\Lambda}\\\frac{E_0}{E_2}=e^{4\ln{2}}=e^{\ln{2^4}}=2^4=16[/tex]
Czyli energia zmaleje 16-krotnie.
Wykorzystałem tu wzór Napiera:
[tex]e^{\ln{b}}=b[/tex]
pozdrawiam
