Arytmetyka. Działania na liczbach niewymiernych.
Dane są dwie liczby niewymierne a = 1 - √3 i b = 1 + √3. Mamy obliczyć ich
a) iloczyn,
b) iloraz.
Iloczyn - wynik mnożenia (mnożenie).
Iloraz - wynik dzielenia (dzielenie).
a)
a · b = (1 - √3)(1 + √3)
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a - b)(a + b) = a² - b²
a · b = 1² - (√3)² = 1 - 3 = -2
b)
[tex]a:b=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}[/tex]
Pozbywamy się niewymierności z mianownika korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)(a + b) = a² - b²
[tex]=\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}\cdot\dfrac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3}=\dfrac{(1-\sqrt3)^2}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}[/tex]
W liczniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
[tex]=\dfrac{1^2-2\cdot1\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2}{1^2-(\sqrt3)^2}=\dfrac{1-2\sqrt3+3}{1-3}=\dfrac{4-2\sqrt3}{-2}=\sqrt3-2[/tex]
Odp:
a) a · b = -2
b) a : b = √3 - 2
