👤
Rozwiązane

Dla jakiej wartości x liczby x^3, x^2 + 2, 4 są w danej kolejności odpowiednio

pierwszym, trzecim i piątym wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego (an)?

Dla znalezionej wartości x napisz wyraz ogólny ciągu (an).
.

Odpowiedź :

Animaldkgo

Odpowiedź:

x = 0 ⇒ aₙ = n - 1

lub

x = 2 ⇒ aₙ = 9 - n

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ciąg arytmetyczny, to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu powstaje z poprzedniego poprzez dodanie stałej liczby zwanej różnicą ciągu (r).

Wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:

aₙ = a₁ + (n - 1)r

Jako, że dane są pierwszy, trzeci i piąty wyraz ciągu, to tworzą one też ciąg arytmetyczny.

Jeżeli a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, to:

2b = a + c

Mamy ciąg:

x³, x² + 2, 4

tworzą ciąg arytmetyczny. Stąd mamy równanie:

2(x² + 2) = x³ + 4

2x² + 4 = x³ + 4    |-4

2x² = x³    |-2x²

x³ - 2x² = 0

x²(x - 2) = 0 ⇒ x² = 0 ∨ x - 2 = 0

x = 0 ∨ x = 2

Otrzymujemy dwa ciągi:

x = 0

x³ = 0³ = 0

x² + 2 = 0² + 2 = 2

4

0, 2, 4

x = 2

x³ = 2³ = 8

x² + 2 = 2² + 2 = 6

4

8, 6, 4

Dla pierwszego ciągu:

a₁ = 0, a₃ = 2, a₅ = 4

Obliczamy różnicę r:

a₃ - a₁ = 2r

2r = 2 - 0

2r = 2   |:2

r = 1

Wzór na wyraz ogólny tego ciągu:

aₙ = 0 + (n - 1) · 1

aₙ = n - 1

Dla drugiego ciągu:

a₁ = 8, a₃ = 6, a₅ = 4

Obliczamy różnicę r:

a₃ - a₁ = 2r

2r = 6 - 8

2r = -2   |:2

r = -1

Wzór na wyraz ogólny tego ciągu:

aₙ = 8 + (n - 1) · (-1)

aₙ = 8 - n + 1

aₙ = 9 - n

Go Studier: Inne Pytanie