Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja kwadratowa:
Postać ogólna:
f(x) = ax² + bx + c
Postać kanoniczna:
f(x) = a(x - p)² + q
(p, q) - współrzędne wierzchołka
p = -b/2a, q = f(p) = (-b² + 4ac)/4a
Postać iloczynowa:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
x₁, x₂ - miejsca zerowe
Zbiór wartości:
Jeżeli a < 0, to
ZW = (-∞, q>
Jeżeli a > 0, to
ZW = <q, ∞)
Oś symetrii:
x = p
Mamy funkcję w postaci kanonicznej:
f(x) = 2(x - 2)² - 3
stąd mamy a = 2, p = 2 i q = -3
Możemy już określić zbiór wartości funkcji oraz oś symetrii:
a = 2 > 0
ZW = <-3, ∞)
x = 2
Przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
f(x) = 2(x - 2)² - 3
f(x) = 2(x² - 4x + 4) - 3
f(x) = 2x² - 8x + 8 - 3
f(x) = 2x² - 8x + 5
Do postaci iloczynowej brakuje nam miejsc zerowych.
2x² - 8x + 5 = 0
Δ = (-8)² - 4 · 2 · 5 = 64 - 40 = 24
√Δ = √24 = √(4 · 6) = 2√6
x₁ = (-(-8) - 2√6)/(2 ·2)
x₁ = (8 - 2√6)/4
x₁ = (4 - √6)/2
x₂ = (-(-8) + 2√6)/(2 ·2)
x₂ = (8 + 2√6)/4
x₂ = (4 + √6)/2
Postać iloczynowa:
f(x) = 2(x - (4 - √6)/2)(x - (4 + √6)/2)
