Odpowiedź :
Reszta z dzielenia przez dwumian (x-4) wynosi 0.
Dane:
[tex]W(x)=x^4+bx^3+cx^2[/tex],
reszta dzielenia przez dwumian (x-2) jest równa -8,
reszta dzielenia przez dwumian (x-3) jest równa -18
Szukane:
reszta z dzielenia przez dwumian (x-4)
Rozwiązanie:
Pierwszym etapem będzie zapisanie układu równań dla dzielenia przez dwumian (x-2) oraz przez dwumian (x-3).
[tex]\left \{ {{W(x-2)=-8} \atop {W(x-3)=-18}} \right. \\\left \{ {{W(2)=-8} \atop {W(3)=-18}} \right.[/tex]
Teraz wystarczy podstawić pod x 2 oraz 3 i przyrównać to odpowiednio do -8 i -18. Następnie będziemy mogli obliczyć współczynnik b oraz c.
[tex]\left \{ {{2^4+2^3b+2^2c=-8} \atop {3^4+3^3b+3^2c=-18}} \right. \\\left \{ {{16+8b+4c=-8} \atop {81+27b+9c=-18}} \right. \\\left \{ {{4c=-24-8b} \atop {27b=-99-9c}} \right. \\\left \{ {{c=-6-2b} \atop {27b=-99-9c}} \right. \\27b=-99-9(-6-2b)\\27b=-99+54+18b\\9b=-45\\b=-5[/tex]
Teraz podstawimy b i wyliczymy c.
[tex]c=-6-2b\\c=-6-2*(-5)\\c=-6+10\\c=4[/tex]
Posiadając współczynnik b i c, możemy zapisać wielomian W(x).
[tex]W(x)=x^4-5x^3+4x^2[/tex]
Ostatnim krokiem będzie wyliczenie reszty z dzielenia przez wielomian (x-4), czyli musimy w tym etapie za x podstawić 4.
[tex]W(x-4)=W(4)\\W(4)=4^4-5*4^3+4*4^2\\W(4)=256-5*64+4*16\\W(4)=256-320+64\\W(4)=0[/tex]
Reszta z dzielenia przez dwumian (x-4) wynosi 0.