Rozwiązanie:
Całka:
[tex]$\iint \limits^{}_{D}x(x^{2}+y^{2}) dxdy[/tex]
Obszar:
[tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1 \wedge y\geq x\}[/tex]
Rysunek w załączniku.
Przejdziemy na współrzędne biegunowe (zamiana zmiennych). Mamy:
[tex]$\left \{ {{x=r\cos \varphi} \atop {y=r\sin \varphi}} \right.[/tex]
Gdzie:
[tex]0\leq r\leq 1[/tex]
[tex]$\frac{\pi}{4}\leq \varphi\leq \frac{5\pi}{4}[/tex]
[tex]J(r,\varphi)=r[/tex]
Zatem:
[tex]$\iint \limits^{}_{D}x(x^{2}+y^{2}) dxdy=\int\limits^{1}_{0} \Bigg(\int\limits^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{4}} \Bigg(r\cos \varphi \cdot \Big(r^{2}\cos^{2} \varphi+r^{2}\sin \varphi\Big) \cdot r\Bigg)d \varphi \Bigg)dr=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\int\limits^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{4}} r^{4}\cos \varphi \ d \varphi\Bigg)dr=\int\limits^{1}_{0}r^{4} \cdot \sin \varphi \Bigg|^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{4}} dr=\int\limits^{1}_{0}r^{4}\Big(\sin \frac{5\pi}{4}-\sin \frac{\pi}{4}\Big)dr=[/tex]
[tex]$=-\sqrt{2}\int\limits^{1}_{0}r^{4}=-\sqrt{2} \cdot \frac{r^{5}}{5} \Bigg|^{1}_{0}=-\frac{\sqrt{2}}{5}[/tex]
