Rozwiązanie:
[tex]\bold{(a)}[/tex]
[tex]x^{2}-2y^{2}-2x-4y=-4[/tex]
[tex]A=(1,-1)[/tex]
Po przekształceniu:
[tex]x^{2}-2y^{2}-2x-4y+4=0[/tex]
Stąd:
[tex]F(x,y)=x^{2}-2y^{2}-2x-4y+4[/tex]
Ponieważ [tex]F(A)=F(1,-1)=5[/tex], to na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu [tex]A[/tex] nie istnieje funkcja [tex]y=y(x)[/tex] rozwikłująca równanie [tex]F(x,y)=0[/tex].
[tex]\bold{(b)}[/tex]
[tex]x^{3}-y^{3}=0[/tex]
[tex]A=(0,0)[/tex]
Mamy:
[tex]F(x,y)=x^{3}-y^{3}[/tex]
Ponadto:
[tex]F(A)=F(0,0)=0[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial x} =3x^{2}[/tex]
[tex]$\frac{\partial F}{\partial y} =-3y^{2}[/tex]
[tex]$\frac{\partial F}{\partial y}(A)=\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=0[/tex]
Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu [tex]A[/tex] nie istnieje funkcja [tex]y=y(x)[/tex] rozwikłująca równanie [tex]F(x,y)=0[/tex].
