Czworokąt ABCD o współrzędnych podanych w punkcie A jest rzeczywiście trapezem prostokątnym, zaś czworokąt o współrzędnych podanych w punkcie B jest trapezem równoramiennym.
Skąd to wiadomo?
Rysunki obu czworokątów znajdują się w załączniku. Pomogą one w zrozumieniu zadania.
Zadanie a
By udowodnić, że czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym należy udowodnić, że:
Funkcja zawierająca odcinek AB:
[tex]\left \{ {{-2=(-6)*a+b} \atop {2=4*a+b}} \right. \\\left \{ {{-2=-6*a+b} \atop {b=2-4*a}} \right. \\\left \{ {{-2=-6*a+2-4*a} \atop {b=2-4*a}} \right. \\\left \{ {{10*a=4} \atop {b=2-4*a}} \right. \\\left \{ {{a=0,4 } \atop {b=0,4}} \right.[/tex]
[tex]y=0,4*x+0,4[/tex]
Funkcja zawierająca odcinek CD:
[tex]\left \{ {{7-2*a+b} \atop {5=-3*a+b} \right. \\\left \{ {{b=7-2*a} \atop {5=-3*a+7-2*a}} \right. \\\left \{ {{b=7-2*a} \atop {5*a=2}} \right. \\\left \{ {{b=7-2*a} \atop {a=0,4}} \right. \\\left \{ {{b=7-2*0,4} \atop {a=0,4}} \right. \\\left \{ {{b=6,2} \atop {a=0,4}} \right.[/tex]
[tex]y=0,4*x+6,2[/tex]
Funkcja zawierająca odcinek BC:
[tex]\left \{ {{2=4*a+b} \atop {7=2*a+b}} \right. \\\left \{ {{b=2-4*a} \atop {7=2*a+2-4*a}} \right. \\\left \{ {{b=2-4*a} \atop {2*a=-5}} \right. \\\left \{ {{b=2-4*a} \atop {a=-2,5}} \right. \\\left \{ {{b=2-4*(-2,5)} \atop {a=-2,5}} \right. \\\left \{ {{b=12} \atop {a=-2,5}} \right.[/tex]
[tex]y=-2,5*x+12[/tex]
Dwie proste są do siebie równoległe, jeśli posiadają ten sam współczynnik kierunkowy. Z powyższych obliczeń wynika, iż współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB jest taki sam jak współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek CD (wynosi [tex]0,4[/tex]). Mamy spełniony pierwszy warunek.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi [tex]-1[/tex].
[tex]0,4*(-2,5)=-1[/tex]
Mamy spełniony drugi warunek, a zatem czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym.
Zadanie b
By udowodnić, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym należy udowodnić, że:
Funkcja zawierająca odcinek AD:
[tex]\left \{ {{-3=-1*a+b} \atop {1=-3*a+b}} \right. \\\left \{ {{b=-3+1*a} \atop {1=-3*a-3+1*a}} \right. \\\left \{ {{b=-3+1*a} \atop {2*a=-4}} \right. \\\left \{ {{b=-3+1*a} \atop {a=-2}} \right. \\\left \{ {b=-3+1*(-2)} \atop {a=-2}} \right. \\\left \{ {{b=-5} \atop {a=-2}} \right.[/tex]
[tex]y=-2*x-5[/tex]
Funkcja zawierająca odcinek BC:
[tex]\left \{ {{-3=4*a+b} \atop {5=0*a+b}} \right. \\\left \{ {{-3=4*a+b} \atop {b=5}} \right.\\\left \{ {{-3=4*a+5} \atop {b=5}} \right. \\\left \{ {{4*a=-8} \atop {b=5}} \right. \\\left \{ {{a=-2} \atop {b=5}} \right.[/tex]
[tex]y=-2*x+5[/tex]
Postępujemy teraz analogicznie, jak w zadaniu a. Współczynniki kierunkowe obu prostych są takie same i wynoszą [tex]-2[/tex]. Odcinek AD jest równoległy do BC. Pierwszy warunek jest spełniony.
Odcinek AB ma długość [tex]5[/tex], ponieważ [tex]|-1|+4=5[/tex].
Długość odcinka CD możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego CDE (patrzy grafika w załączniku):
[tex]a^{2} +b^{2} =c^{2}[/tex], gdzie a i b to przyprostokątne, a c - przeciwprostokątna.
Oznaczmy odcinek CD roboczo jako c.
[tex]3^{2} +4^{2} =c^{2} \\9+16=c^{2} \\c^{2} =25\\c=5[/tex]
Otrzymujemy zatem, że odcinek CD ma taką samą długość, jak odcinek AB. Drugi warunek został spełniony. Mamy do czynienia z trapezem równoramiennym.
#SPJ1
