Odpowiedź:
Są 303 trzycyfrowe liczby, mniejsze od 749 i podzielne przez 3 lub przez 5.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początku zastanówmy się ile jest liczb trzycyfrowych, mniejszych od 749 podzielnych przez 3. Liczby te stanowią wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy równej 3. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest 102 a ostatnim 747. Ile jest tych liczb?
Możemy to policzyć korzystając z własności ciągu arytmetycznego:
[tex]a_n=a_1+ (n-1)\cdot r[/tex]
przekształcając ten wzór wyliczmy indeks ostatniego wyrazu ciągu (czyli ile jest takich liczb):
[tex]n=\dfrac{a_n-a_1}{r}+1[/tex]
Możemy teraz policzyć ile w tym zakresie jest liczb podzielnych przez 3:
[tex]n=\dfrac{747-102}{3}+1=216[/tex]
Podobnie dla liczb podzielnych przez 5. Pierwszym wyrazem jest 100 a ostatnim 745. Policzmy ile ich jest:
[tex]n=\dfrac{745-100}{5}+1=130[/tex]
Jeżeli zsumujemy te liczby to otrzymamy za dużo. Dlaczego? Dwukrotnie policzyliśmy te liczby, które jednocześnie podzielne są przez 3 i przez 5 - czyli podzielne przez 15. Policzmy o ile za duża byłaby liczba powyższych liczb.
Pierwszym wyrazem ciągu podzielnego przez 15 jest 105 a ostatnim 735. Ile jest taki wyrazów?
[tex]n=\dfrac{735-105}{15}+1=43[/tex]
Możemy już podać liczbę szukanych liczb:
[tex]216+130-43=\boxed{303}[/tex]
