Odpowiedź:
(x-1)^2+(y+1)^2=5
Szczegółowe wyjaśnienie:
Najpierw musimy wyznaczyć punkt E, który jest środkiem tego okręgu. Znajduje się on na przecięciu przekątnych.
Musimy znaleźć równania prostych AC i BD. Ponieważ znamy współrzędne wszystkich punktów jest to stosunkowo proste.
Wzór na prostą to ax+b=y. Podstawiamy za X i Y po kolei współrzędne i tworzymy 2 układy równań z 2 równaniami każdy.
Pierwszy układ AC:
1) -2a+b=0 => 2a=b
2) 4a+b=-2 => podstawiamy za b z 1) => 4a + 2a = -2 => 6a = -2 => a = -1/3
wracamy do 1) 2a=b => -2/3 =b
czyli mamy równanie AC -1/3x - 2/3 = y. Mozemy sprawdzic podstawiajac dla obu punktów X i sprawdzamy czy wyjdzie nam Y.
Drugi układ BD:
1) 0a+b=-4 => b = -4
2) 2a+b=2 => podstawiamy b => 2a -4 = 2 => 2a = 6 => a => 3
czyli BD to 3x-4=y. Znowu możemy sprawdzić rozwiązanie.
Teraz mamy dwie proste, szukamy punktu w którym się one przetną. Czyli dla obu prostych będzie punkt E które xe i ye będą pasowały do obu równań.
Czyli z dwóch równań AC i BD tworzymy układ równań:
1) -1/3x - 2/3 = y
2) 3x -4 = y
czyli -1/3x - 2/3 = 3x - 4 => 4 - 2/3 = 3x + 1/3x => 12/3 - 2/3 = 9/3x + 1/3x => 10/3 = 10/3x => 1 = x
podstawiamy x do 2)
3x - 4 = y => 3 - 4 = y => -1 = y
czyli punkt E ma współrzędne (1,-1).
Teraz musimy znaleźć długość promienia okręgu wpisanego. Jego długość to będzie połowa boku kwadratu. Żeby znaleźć długość boku kwadratu korzystamy z wzoru pitagora na odległość punktów AB. Odleglosc to 2r, wiec to podstawiam.
(xa - xb)^2 + (ya - yb)^2 = (2r)^2
(-2-0)^2 + (0 + 4)^2=4r^2
4 + 16 = 4r^2
20 = 4r^2
5 = r^2
r = \sqrt{5}
znająć punkt E i promień możemy stworzyć równanie okręgu.
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
czyli (x-1)^2+(y+1)^2=25