Odpowiedź:
Krótsza przekątna rombu ma długość 3 cm.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Długość krótszej przekątnej oznaczmy przez [tex]x[/tex]. Długość dłuższej będzie równa [tex]x+5[/tex].
Wzór na pole rombu:
[tex]P=\dfrac{e\cdot f}{2}[/tex]
gdzie [tex]e[/tex] i [tex]f[/tex] t długości przekątnych rombu. W naszym przypadku będzie to:
[tex]P=\dfrac{x\cdot (x+5)}{2}=12\;\left[cm^2\right][/tex]
Rozwiążmy otrzymane równanie:
[tex]\dfrac{x\cdot(x+5)}{2}=12\\\\x^2+5x=24\\\\x^2+5x-24=0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy korzystając z delty:
[tex]\Delta=5^2-4\cdot(-24)=25+96=121\\\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{121}=11\\\\x_1=\dfrac{-5-11}{2}=-8\quad \boxed{x_2=\dfrac{-5+11}{2}=3\;[cm]}[/tex]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy (długość przekątnej nie może być ujemna). Drugie rozwiązanie jest tym, którego szukamy.
Obliczyliśmy, że krótsza przekątna ma długość 3 cm. Dłuższa ma długość 3+5=8 cm. Sprawdźmy czy pole rombu o takich długościach przekątnych jest równe temu z treści zadania:
[tex]P=\dfrac{3\;[cm]\cdot 8\;[cm]}{2}=12\;\left[cm^2\right][/tex]
Zgadza się.
