Witaj :)
Mamy za zadanie obliczyć długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że tworzą one ciąg arytmetyczny o określonej różnicy.
Niech:
[tex]a_1=a\\a_2=b=a_1+r=a_1+2\\a_3=c=a_1+2r=a_1+4[/tex]
Ponieważ trójkąt jest prostokątny, to spełnia on Tw. Pitagorasa, które mówi o tym, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Możemy zatem zapisać, że:
[tex]a^2+b^2=c^2\\\\a_1^2+(a_1+2)^2=(a_1+4)^2\\\\a_1^2+a_1^2+2a_1\cdot 2+2^2=a_1^2+2a_1\cdot 4+4^2\\\\2a_1^2+4a_1+4=a_1^2+8a_1+16\\\\2a_1^2+4a_1+4-a_1^2-8a_1-16=0\\\\a_1^2-4a_1-12=0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Rozwiążmy je:
[tex]a_1^2-4a_1-12=0\\\\a_1^2+2a_1-6a_1-12=0\\\\a_1(a_1+2)-6(a_1+2)=0\\\\(a_1+2)(a_1-6)=0 \iff a_1+2=0\ \vee\ \ a_1-6=0\\\\a_1+2=0\implies a_1=-2\ \boxed{odrzucamy}\ \ \vee\ \ a_1-6=0\implies a_1=6[/tex]
Wobec tego, co zapisaliśmy na początku, otrzymujemy:
[tex]a=a_1=6\\b=a_1+2=6+2=8\\c=a_1+4=6+4=10[/tex]
Sprawdźmy, czy rzeczywiście trójkąt o bokach 6,8,10 jest trójkątem prostokątnym. Skorzystamy z Tw. Pitagorasa:
[tex]6^2+8^2=10^2\\36+64=100\\100=100\implies \boxed{ PRAWDA}[/tex]
Odpowiedź.: Długości boków tego trójkąta to 6,8,10.
