Zaznacz w układzie współrzędnym punkty A = (1,2) i B = (3,-4). Narysuj:

a) odcinek CD równy odcinkowi AB i równoległy do niego,

b) odcinek EF równy odcinkowi AB i prostopadły do niego,

c) odcinek GH dwa razy dłuższy od AB i równoległy do niego,

d) odcinek IJ dwa razy dłuższy od AB i prostopadły do niego,

e) odcinek KL dwa razy krótszy od AB i równoległy do niego,

f) odcinek MN dwa razy krótszy od AB i prostopadły do niego.

Zapisz współrzędne końców narysowanych przez siebie odcinków.

Mamy podane w układzie współrzędnych dwa punkty. Jeśli chodzi o odcinki równoległe to najprościej przesunąć je wzdłuż osi x (można to robić zarówno w lewo, jak i w prawo).

Przykładowo, mamy punkt W=(x,y). Chcemy go przesunąć o 2. Nowe współrzędne punktu będą następujące W`=(x+2,y).

W zadaniu punkt A przesunięto o 3, punkt G o 5, zaś punkt A o 1. Poszczególne przesunięcia zostały zaznaczone niebieskimi strzałkami na rysunku pomocniczym.

Na rysunku został zaznaczony dodatkowy punkt P. To środek odcinka AB o współrzędnych (2,-1). Dzięki niemu byliśmy w stanie podać współrzędne punktu L.

Odcinki prostopadłe

Krok 1

W tej części zadania potrzebne będą obliczenia. Należy najpierw znaleźć wzór prostej, na której leżą punkty A i B.

[tex]\left \{ {{2=a+b} \atop {-4=3a+b}} \right. \\\left \{ {{a=2-b} \atop {3(2-b)+b=-4}} \right. \\\left \{ {{a=2-b} \atop {6-3b+b=-4}} \right. \\\left \{ {{a=2-b} \atop {10=2b} \right. \\\left \{ {{a=2-b} \atop {b=5}} \right. \\\left \{ {{a=-3} \atop {b=5}} \right.[/tex]

Znamy już prostą:

[tex]y=-3x+5[/tex]

Krok 2

Proste są do siebie prostopadłe, kiedy ich współczynniki kierunkowe (oznaczone jako a) spełniają następującą zależność: [tex]a_{1} a_{2} =-1[/tex].

[tex]-3a_{2} =-1\\a_{2} =\frac{1}{3}[/tex]

Znany jest już współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej. Nie znana jest jeszcze wartość wyrazu wolnego (b).

Wyznaczyć teraz należy dowolny punkt E. W naszym przypadku niech będzie miał współrzędne (-1,2).

[tex]\frac{1}{3} (-1)+b_{2} =2\\\\-\frac{1}{3} +b_{2} =2\\b_{2} =2\frac{1}{3}[/tex]

Znamy już prostą prostopadłą:

[tex]y=\frac{1}{3}x +2\frac{1}{3}[/tex]

Dzięki niej jesteśmy w stanie wyznaczyć punkt F. Niech druga współrzędna będzie 0.

[tex]0=\frac{1}{3} x+2\frac{1}{3} \\0=\frac{x}{3} +\frac{7}{3} \\0=x+7\\x=-7[/tex]

Punkt F ma współrzędne (0,-7).

Zadanie d) i f) wykonujemy analogicznie jak w przypadku wyznaczania prostych równoległych z tą różnicą, że przesunięć dokonujemy wzdłuż osi y (można to robić zarówno w górę, jak i w dół).

Przykładowo, mamy punkt Z=(x,y). Chcemy go przesunąć o 2. Nowe współrzędne punktu będą następujące Z`=(x,y+2).