Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków jednakowej długości. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, a przekątna łącząca kąty "równoramienne", dzieli na pół drugą przekątną, łączącą dwa jednakowe kąty.
a)
Skoro kąt przy wierzchołku A (∡A) jest różny od pozostałych kątów, to jest to kąt między parą jednakowych boków (|AB|=|AD| i |BC|=|CD|).
Z treści zadania wiemy, że:
|∡A| = (|∡B| + |∡D| + |∡C|):3
czyli: 3|∡A| = |∡B| + |∡D| + |∡C|
Suma kątów w czworokącie wynosi 360°
czyli: |∡A| + |∡B| + |∡D| + |∡C| = 360°
Stąd:
|∡A| + 3|∡A| = 360°
4|∡A| = 360° /:4
|∡A| = 90°
Zatem, z własności równoramiennego trójkąta prostokątnego:
|BD| = |AB|√2
8 = |AB|√2 /·√2
8√2 = 2|AB| /:2
|AB| = 4√2
W prostokątnym trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, czyli:
|AS| = 0,5|BD| = 0,5·8 = 4
Stąd: |CS| = |AC| - |AS| = 7 - 4 = 3
AC dzieli BD na pół, czyli: |BS| = 0,5|BD| = 4
Czyli z twierdzenia Pitagorasa:
|BS|² + |CS|² = |BC|²
|BC|² = 4² + 3²
|BC|² = 16 + 9
|BC|² = 25
|BC| = 5
Odp. a): |AB| = |AD|= 4√2, |BC| = |CD| = 5
b)
Z trójkąta BCS mamy:
[tex]\bold{tg\,\frac{\angle C}2=\dfrac{|CS|}{|BS|}=\dfrac43=1,(3)\quad\implies\quad\frac{\angle C}2\approx53^o\quad\implies\quad\angle C\approx106^o}[/tex]
Trzeci kąt w trójkącie BCS ma miarę:
|∡CBS| = 180° - 90° - 53° = 37°
A kąt ABS jako kąt przy podstawie prostokątnego trójkąta równoramiennego ma miarę: |∡ABS| = 45°
Czyli:
|∡B| = |∡ABS| + |∡CBS| = 37° + 45° = 82°
W deltoidzie kąty "nierównoramienne" mają tę samą miarę, czyli:
|∡D| = |∡B| = 82°
Odp. b): |∡B| = 82°, |∡C| = 106°, |∡D| = 82°
