Miary kątów przedstawionych na rysunku wynoszą odpowiednio:
1) dla przykładu c
- α = 110°
- β = 55°
- γ = 15°
- δ = 105°
2) dla przykładu d
- α = 90°
- β = 22°
- γ = 68°
- δ = 112°
Wykorzystane twierdzenia matematyczne:
- twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w okrąg (jeśli jeden z boków trójkąta jest jednocześnie średnicą okręgu to kąt leżący naprzeciw tego boku jest zawsze kątem prostym, czyli ma 90°),
- suma kątów w trójkącie wynosi 180°,
- na dowolnym czworokącie można opisać okrąg wtedy tylko, gdy suma miar przeciwległych jego kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Szczegółowe obliczenia prowadzące do poznania zaznaczonych na rysunku miar kątów można znaleźć poniżej.
Przykład „c”
Trójkąt AOD jest trójkątem równoramiennym, bowiem |AO| i |OD| to jednocześnie promień okręgu, zatem jeśli |∡AOD| ma 150° to na dwa pozostałe kąty pozostaje 30° (180° - 150°). Wiadomo, że są one równe więc γ = 15°.
Analogicznie postępujemy z trójkątem BOD, który również jest trójkątem równoramiennym, a więc |∡OBD| ma 20°, zaś |kąt BOD| - 140° (180° - 20° - 20°).
Suma |∡AOD|, |∡BOD| i |∡AOB| musi wynosić 360°. Znając miary dwóch pierwszych kątów jesteśmy w stanie obliczyć miarę trzeciego.
360° - 150° - 140° = 70°
Trójkąt AOB jest trójkątem równoramiennym.
(180°- 70°) ÷ 2 = 55° = β
Przyglądamy się teraz czworokątowi wpisanemu w okrąg o wierzchołkach A, B, D i E. Wykorzystując trzecie z podanych wyżej twierdzeń wiemy, że |∡ABD| + |∡AED| = 180°. Miara pierwszego z kątów wynosi 75° (20°+55°), a więc 180° - 75° = 105° = δ
Pozostaje już tylko przyjrzeć się bliżej czworokątowi wpisanemu w okrąg o wierzchołkach A, B, C i D. Ponownie korzystamy z tego samego twierdzenia. |∡BAD| + |∡BCD| = 180°. Miara pierwszego z kątów wynosi 70° (15°+55°), a więc 180° - 70° = 110° = α
Przykład „d”
Pora wykorzystać twierdzenie Talesa. Trójkąt ADE jest trójkątem prostokątnym, bowiem |AD| jest średnicą okręgu. |∡AED| = 90°.
180° - 90° - 68° = 22° = β
Podobna sytuacja występuje z trójkątem ACD.
|∡ACD| = 90° = α
Teraz wykorzystać należy trzecie z wymienionych na początku twierdzeń o kątach w czworokącie wpisanym w okrąg. Mamy czworokąt o wierzchołkach A, D, E i F. |∡ADE| + |∡AFE| = 180°. Wiemy, że pierwszy z kątów ma 68°, a zatem drugi - 112° (180° - 68°). I to jest poszukiwana δ.
Czworokąt o wierzchołach A, B, E i F również jest wpisany w okrąg. |∡ABE| + |∡AFE| = 180°. Miara drugiego z kątów została przed chwilą poznana. 180° - 112° = 68° = γ
