Odpowiedź :
Zadanie dotyczy funkcji kwadratowej.
Szukane współczynniki tej funkcji wynoszą:
[tex]a = -\frac{3}{8}, \ \ \ b = -\frac{3}{4}, \ \ \ c = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}[/tex]
W zadaniu mamy podaną funkcję kwadratową o wzorze:
[tex]y = ax^2 + bx + c[/tex]
Wiemy również, że:
- wykres ma z prostą o równaniu y = 6 dokładnie jeden punkt wspólny.
- punkty A = (-5,0) oraz B = (3,0) należą do wykresu funkcji f.
W zadaniu należy obliczyć wartości współczynników tej funkcji czyli współczynniki a, b oraz c.
- Na początek warto zauważyć, że punkty A oraz B to miejsca zerowe tej funkcji. Przypomnijmy, że miejsce zerowe to taki argument dla którego f(x) = y = 0.
Z tego wynika, że:
[tex]x _ 1 = -5, x _2 = 3[/tex]
Chcąc ułatwić sobie obliczenia, mając te dane, możemy przejść na postać kanoniczną funkcji.
Przypomnijmy:
- funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej:
[tex]f(x) = a(x - p)^2 + q[/tex]
gdzie:
[tex]W = (p,q)[/tex] - współrzędne wierzchołka
[tex]p =-\cfrac{b}{2a}, \ \ q= -\cfrac{\Delta}{4a}[/tex]
Wróćmy najpierw do informacji, że prosta o równaniu y = 6 ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem tej funkcji (z parabolą).
Co to oznacza w praktyce?
- Jeśli jest tylko jeden punkt wspólny to znaczy, że jest to wierzchołek paraboli. Mamy w ten sposób jego drugą współrzędną, czyli q = 6.
Wzór funkcji w postaci kanonicznej ma teraz postać:
[tex]y = a(x - p)^2 + 6[/tex]
- Obliczamy teraz 'iksową' współrzędną wierzchołka, posłużymy się wzorem:
[tex]p = x_s[/tex] (oś symetrii paraboli)
[tex]p = -\cfrac{b}{2a} = \cfrac{x_1 + x_2}{2} = \cfrac{-5 + 3}{2} = \cfrac{-2}{2} = -1[/tex]
- Tym sposobem obliczyliśmy współrzędne wierzchołka paraboli:
[tex]W = (p,q) = (-1, 6)[/tex]
- Wzór funkcji w postaci kanonicznej wygląda następująco:
[tex]f(x) = a(x -(-1))^2 + 6 = a(x +1)^2 + 6[/tex]
- Pozostajemy do obliczenia jeszcze współczynnik 'a' tej funkcji.
Chcąc go obliczyć możemy podstawić do wzoru jakąkolwiek współrzędną punktu, który należy do wykresu - np. punkt :
[tex]A = (x,y) = (-5,0)[/tex], czyli:
[tex]f(x) = y = a(x + 1)^2 + 6[/tex]
Podstawiamy i wyliczamy współczynnik a:
[tex]a(-5 + 1)^2 + 6 = 0 \\\\a \cdot 4^2 + 6 = 0 \\\\16a + 6 = 0 \\\\16 a = -6\ | : 16 \\\\a = -\cfrac{6}{16}= -\cfrac{3}{8} \\\\[/tex]
- Ostatecznie wzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać:
[tex]f(x) = -\frac{3}{8} (x + 1)^2 + 6[/tex]
- Ostatnim krokiem jest wyliczenie współczynników a,b oraz c.
Chcąc to wykonać wystarczy uprościć wzór tej funkcji (wykonać potęgowanie i redukcje wyrazów podobnych).
Skorzystamy z wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2[/tex]
czyli:
[tex]f(x) = -\frac{3}{8} (x + 1)^2 + 6 = -\frac{3}{8} (x^2 + 2x + 1) + 6 = -\frac{3}{8}x^2 -\frac{6}{8}x - \frac{3}{8} + 6 =\\\\ = -\frac{3}{8}x^2 -\frac{3}{4}x - \frac{3}{8} + \frac{48}{8} =-\frac{3}{8}x^2 -\frac{3}{4}x +\frac{45}{8}[/tex]
Otrzymany wzór przyrównujemy do:
[tex]y = ax^2 + bx + c[/tex] i otrzymujemy:
[tex]a = -\frac{3}{8}, \ \ \ b = -\frac{3}{4}, \ \ \ c = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}[/tex]
Wniosek: Szukane współczynniki tej funkcji wynoszą:
[tex]a = -\frac{3}{8}, \ \ \ b = -\frac{3}{4}, \ \ \ c = \frac{45}{8} = 5\frac{5}{8}[/tex]