[tex]a_1 + 3r = a_4 \\ - 1 + 3r = 8 \\ 3r = 9 | \div 3 \\ r = 3[/tex]
Setny wyraz
[tex]a_1 + 99r = a_{100} \\ - 1 + 99 \times 3 = a_{100} \\ - 1 + 297 = a_{100} \\ a_{100} = 296[/tex]
Zatem suma
[tex]S_{n} = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n \\ \\ S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \times 100 \\ S_{100} = \frac{ - 1 + 296}{2} \times 100 \\ S_{100} = \frac{295}{2} \times 100 \\ S_{100} = 147.5 \times 100 \\ S_{100} = 14750[/tex]
Zadanie dotyczy ciągu arytmetycznego.
Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi 14750.
Obliczenia poniżej.
Przypomnijmy wzory:
[tex]a_n = a_1 + (n-1) \cdot r[/tex]
[tex]S_n = \cfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n[/tex]
gdzie:
[tex]a_1[/tex] - pierwszy wyraz ciągu
[tex]n[/tex] - liczba, która informuje, który jest to wyraz ciągu
[tex]r[/tex] - różnica ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym różnica jest stała.
Dane z zadania:
[tex]a_1 = -1 \\\\a_4 = 8 \\\\[/tex]
Chcąc obliczyć sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu należy obliczyć najpierw:
[tex]a _1 + 3r = a_4 \\\\-1 + 3r = 8 | + 1 \\\\3r = 9 | : 3 \\\\r = 3[/tex]
[tex]a_{100} = a_1 + (100 - 1) \cdot r = a_1 + 99r\\\\czyli:\\\\a_{100} = -1 + 99 \cdot 3 = -1 + 297 = 296[/tex]
Obliczamy teraz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu:
[tex]S_{100} = \cfrac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100\\\\czyli: \\\\S_{100} = \cfrac{-1 + 296}{2} \cdot 100 \\\\S_{100} = \cfrac{295}{2} \cdot 100 \\\\S_{100} = 295 \cdot 50 \\\\\boxed{S_{100} = 14750}[/tex]
Odpowiedź: Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu wynosi 14750.
