Odpowiedź:
19/3 = 6 1/3
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
x² - 5x + 3 = 0
Skorzystamy z wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego ax² + bx + c:
Δ = b² - 4ac
Jeżeli
Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych
Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci -b/2a
Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania postaci (-b - √Δ)/2a i (-b + √Δ)/2a
x² - 5x + 3 = 0
a = 1, b = -5, c = 3
Δ = (-5)² - 4 · 1 · 3 = 25 - 12 = 13 > 0
√Δ = √13
x₁ = (-(-5) - √13)/(2 · 1) = (5 - √13)/2
x₂ = (-(-5) + √13)/(2 · 1) = (5 + √13)/2
Podstawiamy do wyrażenia: x₁/x₂ + x₂/x₁
[tex]\dfrac{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}+\dfrac{\frac{5+\sqrt{13}}{2}}{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\cdot\dfrac{2}{5+\sqrt{13}}+\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\cdot\dfrac{2}{5-\sqrt{13}}\\\\=\dfrac{5-\sqrt{13}}{5+\sqrt{13}}+\dfrac{5+\sqrt{13}}{5-\sqrt{13}}=\dfrac{(5-\sqrt{13})(5-\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})}+\dfrac{(5+\sqrt{13})(5+\sqrt{13})}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})}\\\\=\dfrac{(5-\sqrt{13})^2+(5+\sqrt{13})^2}{(5+\sqrt{13})(5-\sqrt{13})}[/tex]
skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)(a + b) = a² - b²
[tex]=\dfrac{5^2-2\cdot5\cdot\sqrt{13}+(\sqrt{13})^2+5^2+2\cdot5\cdot\sqrt{13}+(\sqrt{13})^2}{5^2-(\sqrt{13})^2}\\\\=\dfrac{25-10\sqrt{13}+13+25+10\sqrt{13}+13}{25-13}\\\\=\dfrac{76}{12}=\dfrac{19}{3}[/tex]
Krótszym sposobem jest użycie wzorów Viete'a.
Jeżeli x₁ i x₂ są pierwiastkami trójmianu kwadratowego ax² + bx + c, to
x₁ · x₂ = c/a i x₁ + x₂ = -b/a
Przekształćmy wyrażenie:
[tex]\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2}{x_1x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1^2+2x_1x_2+x^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\\\\=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}[/tex]
skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Podstawiamy ze wzorów Viete'a:
[tex]\dfrac{\left(\frac{-b}{a}\right)^2-2\cdot\frac{c}{a}}{\frac{c}{a}}=\left(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\right)\cdot\dfrac{a}{c}=\dfrac{b^2}{ac}-2[/tex]
Mamy równanie x² - 5x + 3 = 0, wówczas:
a = 1, b = -5, c = 3
Podstawiamy do przekształconego wyrażenia:
[tex]\dfrac{(-5)^2}{1\cdot3}-2=\dfrac{25}{3}-2=\dfrac{25}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{19}{3}[/tex]
