Pole równoległoboku liczymy ze wzoru [tex]P=ah[/tex].
a)
Podstawą jest odcinek AB. Policzmy jego długość.
[tex]a=|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}[/tex]
Wysokość h policzymy jako odległość punktu C od prostej AB.
Wyznaczmy najpierw prostą AB i przedstawmy ją w postaci ogólnej.
[tex]AB:y=ax+b\\\left \{ {{4=2a+b} \atop {3=6a+b}} \right|-\\\left \{ {{1=-4a\ |:(-4)} \atop {3=6a+b}} \right. \\\left \{ {{a=-\frac{1}{4}} \atop {3=6*(-\frac{1}{4})+b}} \right. \\\left \{ {{a=-\frac{1}{4}} \atop {3=-\frac{3}{2}+b} \right. \\\left \{ {{a=-\frac{1}{4}} \atop {b=4\frac{1}{2}} \right. \\y=-\frac{1}{4}x+4\frac{1}{2}\quad\text{ - posta\'c kierunkowa}\\\frac{1}{4}x+y-4\frac{1}{2}=0\ |*4\\x+4y-18=0\quad\text{ - posta\'c og\'olna}[/tex]
Policzmy wysokość h.
[tex]h=\frac{|1*4+4*(-1)-18|}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{18}{\sqrt{17}}[/tex]
Zatem pole równoległoboku wynosi:
[tex]P=\sqrt{17}*\frac{18}{\sqrt{17}}=18[/tex]
b)
Podstawą jest odcinek CD. Policzmy jego długość.
[tex]a=|CD|=\sqrt{(7-3)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5[/tex]
Wysokość h policzymy jako odległość punktu A od prostej CD.
Wyznaczmy najpierw prostą CD i przedstawmy ją w postaci ogólnej.
[tex]CD:y=ax+b\\\left \{ {{0=3a+b} \atop {2=7a+b}} \right|-\\\left \{ {{-2=-4a\ |:(-4)} \atop {0=3a+b}} \right.\\\left \{ {{a=\frac{1}{2}} \atop {0=3*\frac{1}{2}+b}} \right.\\\left \{ {{a=\frac{1}{2}} \atop {b=-1\frac{1}{2}}} \right.\\y=\frac{1}{2}x-1\frac{1}{2}\quad\text{ - posta\'c kierunkowa}\\\frac{1}{2}x-y-1\frac{1}{2}=0\ |*2\\x-2y-3=0\quad\text{ - posta\'c og\'olna}[/tex]
Policzmy wysokość h.
[tex]h=\frac{|1*(-2)-2*5-3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{15}{\sqrt5}[/tex]
Zatem pole równoległoboku wynosi:
[tex]P=2\sqrt5*\frac{15}{\sqrt5}=30[/tex]
