Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Funkcja jest rosnąca dla: [tex]x\in (-\infty,-1\rangle\cup \langle1,\infty)[/tex]
Funkcja jest malejąca dla: [tex]x\in \langle -1,1\rangle[/tex]
Funkcja posiada minimum w punkcie [tex]x=1[/tex]
Funkcja posiada maksimum w punkcie [tex]x=-1[/tex]
Obliczenia:
Aby wyznaczyć estrema funkcji, musimy najpierw obliczyć jej pochodną:
[tex]f'(x)=3\cdot x^2-3[/tex]
Teraz sprawdzamy, kiedy pochodna funkcji sie zeruje:
[tex]3x^2-3=0[/tex]
[tex]3x^2=3[/tex]
[tex]x=1\quad\vee\quad x=-1[/tex]
Zatem funkcja będzie posiadała ekstrema dla [tex]x=1[/tex] i [tex]x=-1[/tex]. Narysujmy teraz wykres pochodnej, by zobaczyć czy będą to minima czy maksima (zielony wykres w załączniku). Z wykresu możemy odczytać, że w punkcie [tex]x=-1[/tex] wykres pochodnej zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum, natomiast w punkcie [tex]x=1[/tex] pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i w tym miejscu funkcja ma minimum.
Korzystając z powyższych informacji możemy naszkicować wykres naszej funkcji (czerwony wykres w załączniku). Odczytujemy zatem przedziały monotoniczności:
Funkcja jest rosnąca dla: [tex]x\in (-\infty,-1\rangle\cup \langle1,\infty)[/tex]
Funkcja jest malejąca dla: [tex]x\in \langle -1,1\rangle[/tex]
