Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+5)^2-8}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Postać kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - wpółrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
gdzie
[tex]p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-\Delta}{4a}\ (\Delta=b^2-4ac)[/tex]
Mamy dane:
największą wartość funkcji równą -8 dla argumentu -5.
Największą/najmniejszą wartość funkcja kwadratowa przyjmuje w wierzchołku.
Stąd mamy współrzędne wierzchołka (-5, -8).
Jako, że funkcja przyjmuje wartość największą, to ramiona paraboli muszą być skierowane w dół. Czyli a < 0.
Mamy wstępny wzór funkcji:
(podstawiamy p = -5 i q = -8 do postaci kanonicznej)
[tex]f(x)=a(x-(-5))^2+(-8)\\\\f(x)=a(x+5)^2-8[/tex]
Wykres przechodzi przez punkt A(-3, -9). Podstawiamy współrzędne do wzoru funkcji:
[tex]x=-3,\ f(x)=-9\\\\-9=a(-3+5)^2-8\\-9=a\cdot2^2-8\\-9=4a-8\qquad|+8\\-1=4a\qquad|:4\\\boxed{a=-\dfrac{1}{4}}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+5)^2-8}[/tex]
